6. Понятие монотонной функции. Понятие ограниченной функции. Примеры.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда не положительное^[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пусть дана функция $f:M \subset \R \to \R.$ Тогда

функция $f$ называется возраста́ющей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y)$ .

функция $f$ называется стро́го возраста́ющей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y)$ .

функция $f$ называется убыва́ющей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y)$ .

функция $f$ называется стро́го убыва́ющей на $M$ , если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y)$ .

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Примеры[править | править исходный текст]

Функция $f(x)=x^3$ строго возрастает на всей числовой прямой, не смотря на то, что точка $x=0$ являетсястационарной, т.е. в этой точке $f'(x)=0$ .
Функция $f(x)= \sin x$ является строго возрастающей не только на открытом интервале $(- \pi /2; \pi /2)$ , но и на замкнутом интервале $[- \pi /2; \pi /2]$ .
Экспонента $f(x) = e^x$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Константа $f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R}$ одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.