Непустое ножество Х назовем линейным пространством над полем К, если для элементов множества определены операции:
1. Суммирования: х,у из Х -> (х+у) из Х
2. Умножение на скаляр: х из Х, λ из К -> λx из Х
Эти операции не выводят за пределы множества Х.
И выполняются аксиомы ЛП:
1. х+у=у+х (коммутативность)
2. х+(у+z)=(x+y)+z (ассоциативность)
3. x+0=x, для любого Х (сущ. и единств. нулевого элемента)
4. Для произвольного ненулевого элемента х существует единственный элемент (–х) такой что х+(-х)=0
5. 1*х=х
6. (α+β)x=αх+βх
7. α(x+y)=αx+αy
8. α(βx)=(αβ)x
В зависимости от выбора поля скаляров пространство Х назовем вещественным или комплексным.
- В вещественном введена операция умножения на действительный скаляр.
- В комплексном - на комплексный.
Базисом называется фиксированная линейно независимая комбинация элементов данной системы.Любой элемент пространства может быть представлен в виде лин. комбинации элементов базиса. Приэтом, разложение по базису, единственно.
- Конечномерным пространством называется пространство, если в нем существует базис который состоит из n элементов.
- Пространство бесконечномерно, если в пространстве Х можно указать систему из произвольного числа л\н элементов.
Х0 называется подпространством Х если для элементов Х0 выполняются аксиомы л.п.
