различные виды уравнений прямой на плоскости. взаимное расположение двух прямых.

Уравнение прямой через угловой коэффициент .

Рассмотрим прямую линию в декартовой системе координат. Проходящую через точку под угломс положительным направлением оси. Возьмем на ней некоторую точкус произвольными координатами. Проведем через точкупрямую. Тогда из прямоугольного треугольникаполучимТак как

или Величина

обозначается через и называетсяугловым коэффициентом прямой. Таким образом, уравнение прямой линии в декартовой системе координат через угловой коэффициент имеет вид

Пример 3. Построить график прямой 

Решение. Так как и значение, то искомая прямая пересекает осьв точкепод угломк оси(рис. 9).

Замечание. Если , то уравнение прямой имеет види график проходит через начало координат.

Пример 4. Построить график прямой .

Решение. Так как прямая линия однозначно определяется двумя своими различными точками, то определим координаты этих точек из уравнения прямой. Положим , тогда. Одна точка (точка) имеет координаты. Пусть теперь, тогдаи. Вторая точка (точка) имеет координаты. Тогда искомая прямая проходит через точкии(рис.10).

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и в данном направлении.

Пусть дана точка с координатами. Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точкуи имеющей угловой коэффициент. Уравнение прямой через угловой коэффициент имеет вид 

Так как прямая проходит через точку то её координаты удовлетворяют этому уравнению, т. е.. Отсюда

Подставив значение в уравнение прямой через угловой коэффициент, получимили

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент(рис. 11).

Пример 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку под углом 45с положительным направлением оси.

Решение. В нашем случае ,,, поэтому уравнение прямой имеет видили.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Пусть даны точки и. Тогда существует единственная прямая, которая проходит через эти точки (рис. 12). Установим уравнение этой прямой. Так как уравнение прямой, проходящей через точкуимеет види прямая проходит через точку, то справедливо равенство. ОтсюдаПодставим значениев уравнение, получим

После преобразования окончательно уравнение прямой, проходящей через точки иимеет видПредполагается, что в этом уравнении

Если , то прямая, проходящая через точкиии параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид(рис. 13а)).

Если , то уравнение прямой может быть записано в видеи она параллельна оси абсцисс(рис. 13б)).

Пример 6. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и(рис. 14).

Решение. По формуле уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем 

В нашем случае значения координат равны , поэтому уравнение прямой, имеет вид

После преобразований получим .

Уравнение прямой в отрезках по осям.

Пусть график некоторой прямой отсекает на осях иотрезкиисоответственно (рис. 15). Возникает вопрос: каким образом эти параметры могут быть отражены в уравнении прямой?

Так как в этом случае прямая проходит через точки и, то по формуле уравнения прямой, проходящей через 2 точки, имеем

Или

Окончательно, получим уравнение

Пример 7. Написать уравнение прямой в виде уравнения в отрезках по осям и построить график этой прямой.

Решение. Перенесем переменные уравнения в одну сторону , затем разделим на правую часть, равную 2, получим

Таким образом, имеем . Откладываем эти значения соответственно по осями, получим точкии(рис. 16), через которые и проводим искомую прямую.

Взаимное расположение двух линий

Для того чтобы определить взаимное расположение двух линий, надо знать уравнения этих линий. Если система этих уравнений имеет решения, то линии имеют общие точки. В противном случае общих точек нет. Число общих точек равно числу решений системы уравнений.