Прямая линия на плоскости.

Системы координат на плоскости.

Декартова система координат.

Под прямоугольной (декартовой) системой координат понимают пару взаимно перпендикулярных прямых с заданными направлением и масштабом. Вертикальная прямая – ось (ось ординат); горизонтальная – ось (ось абсцисс). Система координат используется для однозначного определения положения объектов на плоскости. Это делается с помощью координат точек. Каждая точка на плоскости определяется двумя числами, (рис. 1), называемымикоординатами . Точкиирасположены на плоскости в соответствии с своими координатами.

Полярная система координат.

Полярная система координат состоит из точки которая называется полюсом, и оси, задающей некоторое первоначальное направление. Как правило, оно совпадает с направлением осиТогда положение любой точки определяется расстоянием от неё до полюса и углом между прямой, содержащей точку и проходящей через полюс, и первоначальным направлением (рис. 2). Так точкав полярной системе координат имеет положение, указанное на рис. 3.

Связь между декартовой и полярной системами можно установить, совместив их начала координат и выразив координаты произвольной точки в обеих системах (рис. 4). Так, если точка имеет в декартовой системе координаты, а в полярной –, то, . Отсюда следует и обратное выражение ,.

Расстояние между двумя точками на плоскости.

Пусть в декартовой системе координат даны две точки и(рис. 5). Тогда расстояниеможно найти из прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора

 Отсюда

.

Пример 1. Даны точки иНайти расстояние между ними.

Решение. По формуле расстояния между двумя точками имеем

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть в декартовой системе координат даны две точки - и(рис. 6). Требуется на отрезкенайти координаты точки, такой, что. Для решения этой задачи через точкупроведем прямыеи. Тогда для углапо теореме Фалесаили

Отсюда

=λλ=+ λили

и окончательно

Рассуждая аналогично, можно найти и координату точки по оси , 

Пример 2. Даны точки и. Требуется найти координаты середины отрезка.

равнение линии на плоскости

Уравнение линии на плоскости — это уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Если точка передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты называются текущими координатами.
Чтобы убедится, лежит ли точка на данной линии, надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению.
Уравнения линии могут быть самыми различными, но не каждое уравнение имеет геометрический образ в виде линии.

Примеры:

1. Уравнение окружности: (x — x_о)² + (y — y_о)² = r²
2. 
   
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = k·x + b