Векторное проведение векторов.
Определение: Под векторным произведением двух векторов 
и
понимается вектор,
для которого:
-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. 
, где
угол между векторами
и
-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е. 
-если векторы 
неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.
Свойства векторного произведения:
1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е. 
2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е. 
3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. 
4.Для любых трех векторов 
справедливо равенство 
5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов 
и
:
Векторное произведение в координатной форме.
Если известны координаты векторов 
и 
,то их векторное произведение находится по формуле:
.
Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и
, вычисляется по формуле:
Пример: Вычислить площадь треугольника с вершинами 
(1;-1;2),
(5;-6;2),
(1;3;-1).
Решение: 
.
, 
, тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:
,
Смешанное произведение векторов.
Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов 
называется число, определяемое по формуле: 
.
Свойства смешанного произведения:
1.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. 
.
2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. 
.
3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов 
: 
=0.
4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. 
.
Если известны координаты векторов 
, то смешанное произведение находится по формуле:
Пример: Вычислить смешанное произведение векторов 
.
Решение: 
3. Базис системы векторов.
Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространству R.
Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.
Пример. 
Определение. Любой вектор вида 
=
называется линейной комбинацией векторов 
. Числа
- коэффициентами линейной комбинации.
Пример. 
.
Определение. Если вектор 
является линейной комбинацией векторов 
, то говорят, что вектор 
линейно выражается через векторы 
.
Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.
Пример. Система векторов 
линейно-зависима, т. к. вектор
.
Определение базиса. Система векторов образует базис, если:
1) она линейно-независима,
2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.
Пример 1. Базис пространства 
:
.
2. В системе векторов 
базисом являются векторы:
, т.к.
линейно выражается через векторы
.
Замечание. Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:
1) записать координаты векторов в матрицу,
2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,
3) ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,
4) количество векторов в базисе равно рангу матрицы.
