Скалярное произведение векторов.
Определение: Под скалярным произведением двух векторов 
и 
понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. 
=
, 
- угол между векторами 
и 
.
Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: 
, где 
и 
.
Пример: Найти скалярное произведение векторов 
и
Решение: 
Свойства скалярного произведения:
1. 
·
=
·
- коммутативность;
2. 
·(
+
)=
·
+
·
- дистрибутивность;
3. k·(
·
)=(k·
)·
,
4. 
·
=
2
, 
2=0
.
Определение 3. Углом между двумя ненулевыми n-мерными векторами называется угол, косинус которого вычисляется по формуле
.
3) Условие коллинеарности и ортогональности векторов.
Определение 1. Два n-мерных вектора 
и 
называются коллинеарными, если найдется число
такое, что
=
·
.
Рассмотрим два коллинеарных вектора 
и
. Так как они коллинеарны, то
=
·
, или (a1, a2, …, an)=( b1, b2, …, bn ). Следовательно, a1= b1, a2= 2, …, an= bn.
Выражая из этих равенств , получим
- условие коллинеарности.
Для того чтобы два вектора были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны.
Найдем угол между коллинеарными векторами.
.
Определение 2. Два ненулевых n-мерных вектора 
и
называются ортогональными, или перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
,
- условие ортогональности
