Методика обучения решению составных задач
Составной называется текстовая задача, решение которой состоит из двух и более действий. Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних служат данными для других. Выделение этих простых задач и установление зависимости между ними и составляет суть решения составной задачи.
Цель введения составных задач в курс математики для младших школьников: обучение детей «переводу» словесно заданных отношений и связей между различными величинами, числами, на язык математических выражений, равенств, уравнений.
Составные задачи в 2 и более действий, представляющие собой различные сочетания простых
Задача: В коробке лежало 3 простых карандаша, а цветных на 2 карандаша больше. Сколько всего карандашей лежало в коробке?
1) 3+2=5 (к.) - цветных карандашей
2) 5+3=8 (к.) - всего карандашей
Ответ: 8 карандашей лежало в коробке.
Задачи с величинами, связанными пропорциональной зависимостью
Это задачи, в которые входят тройки величин, связанных пропорциональной зависимостью (цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние и т.п.).
1) На нахождение четвертого пропорционального:
Рассматривая математическое содержание задачи на нахождение четвертого пропорционального, необходимо выяснить, какие значения из двух прямо пропорциональных величин даны, значение какой величины требуется найти.
Таблица 8
|
ВЕЛИЧИНЫ |
|||
|
|
цена |
количество |
стоимость |
|
1 |
постоянная |
даны два значения |
дано одно значение, другое искомое |
|
2 |
постоянная |
дано одно значение, другое иском |
даны два значения |
|
3 |
даны два значения |
постоянное |
дано одно значение, а другое искомое |
|
4 |
дано одно значение, а другое является искомым |
постоянное |
даны два значения |
|
5 |
даны два значения |
дано одно значение, другое иском |
постоянная |
|
6 |
дано одно значение, а другое является искомым |
даны два значения |
постоянная |
Способы решения:
1) Способ приведения к единице: сначала узнают значение (цену) единицы одной из пропорциональных величин (товара, работы и пр.), затем значение (стоимость) указанного в условии количества. К единице приводят величину, для которой даны оба значения.
Например, задача: «На 6 одинаковых платьев израсходовали 30 м ткани. Сколько ткани потребуется на изготовление 3 таких платьев?» В задаче известны два значения количества и одно значение общего расхода. При решении способом прямого приведения к единице находим сначала расход на 1 платье: 30:6 =5(м). Затем определяем расход ткани на три одинаковых платья: 5•3=15(м).
2) Способ обратного приведения к единице сводится к нахождению соответствующего значения единицы той величины, для которой в условии указано лишь одно данное (одно значение).
Например, задача: «Для засолки 12 кг огурцов разложили в 6 одинаковых банок. Сколько потребуется таких банок, чтобы разложить 24 кг огурцов?» Учащиеся определяют, сколько раз по 12 кг содержится в 24 кг, т.е. во сколько раз 24 больше 12, значит, и банок получится во столько же раз больше: 6•(24:12)=12 (б.)
Задача: Мама купила несколько пирожков с капустой по 5 рублей за штуку и столько же пирожков с мясом по 10 рублей за штуку. За пирожки с капустой она уплатила 30 рублей. Сколько стоили пирожки с мясом?
1 этап. Восприятие и осмысление задачи
После прочтения текста задачи, учитель в ходе беседы обсуждает условие, составляется краткая запись в виде таблицы.
2 этап. Поиск плана решения
На данном этапе можно использовать различные схемы рассуждения: от вопроса к данным, от данных к вопросам. Обсуждение может быть проведено устно, а может фиксироваться на доске в виде схем.
|
Схема разбора от вопроса к данным |
Схема разбора от данных к вопросу |
С использованием геометрических фигур |
|
|
|
|
3 этап. Выполнение плана решения
Учитель может самостоятельно указать на форму записи решения учащимися. Если это не сделано, то ученик вправе самостоятельно определить удобную для себя форму записи решения, например:
|
По действиям с пояснениями |
Выражением |
|
1) 30:5=6 (шт.) - количество пирожков 2) 10●6=60 (руб.) - стоимость пирожков с мясом |
10● (30:5)=60 (руб.)
|
4 этап. Проверка решения
Проверку целесообразно провести путем составления и решения обратной задачи.
5● (60:10)=30 (руб.) Вывод: задача решена верно.
5 этап. Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении требования)
Ответ: 60 рублей стоили пирожки с мясом.
6 этап. Исследование решения
На данном этапе целесообразно обсудить, существуют ли другие способы решения задачи. Какие? Какой из них целесообразнее. Например: 30●(10:5)=60 (руб.)
2) На пропорциональное деление: Основным признаком задач на пропорциональное деление является содержащееся в них требование распределить одно числовое значение величины (например, стоимости) пропорционально данным числам (например, числу предметов в одной совокупности и числу предметов в другой совокупности).
|
ВЕЛИЧИНЫ |
|||
|
|
цена |
количество |
стоимость |
|
1 |
постоянная |
даны два или более значений |
дана сумма значений, соответствующих количеству, найти слагаемые |
|
2 |
постоянная |
дана сумма значений, соотв количеству, найти слагаемые |
даны два или более значений |
|
3 |
даны два или более значений |
постоянное |
дана сумма значений, соответствующих количеству, найти слагаемые |
|
4 |
дана сумма значений, соответствующих кол-ву, найти слагаемые |
постоянное |
даны два или более значений |
Задача: Две девочки купили 5 метров ленты по одинаковой цене. Одна уплатила 15 рублей, а другая – 10 рублей. Сколько метров ленты купила каждая девочка?
1 этап. Восприятие и осмысление задачи
Учитель совместно с учащимися обсуждает условие задачи и составляется краткая запись.
2 этап. Поиск плана решения
На данном этапе могут быть использованы следующие схемы разбора:
|
Схема разбора от данных к вопросу |
С использованием геометрических фигур |
|
|
|
3 этап. Выполнение плана решения
Различные способы решения:
1 способ: 2 способ:
1) 15+10=25 (руб.) 1) 15+10=25 (руб.)
2) 25:5=5 (руб.) 2) 25:5=5 (руб.)
3) 15:5=3 (м) 3) 15:5=3 (м)
4) 5-3=2 (м) 4) 10:5=2 (м)
4 этап. Проверка решения
Решение задачи различными способами является одним из способов проверки.
5 этап. Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении требования)
Ответ: 3 м купила первая девочка и 2 м - вторая.
6 этап. Исследование решения
Целесообразно обсудить, какой способ решения более рациональный.
3) На нахождение неизвестных по двум разностям:
Если в задаче на пропорциональное деление заменить сумму двух значений стоимости их разностью, сумму двух количеств их разностью, можно получить задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.
Таблица 13
|
ВЕЛИЧИНЫ |
|||
|
|
цена |
количество |
стоимость |
|
1 |
постоянная |
даны два значения величины |
дана разность значений, соответств количеству, найти каждое значение |
|
2 |
постоянная |
дана разность значений, соответ количеству, найти каждое знач |
даны два значения величины |
Задача: В одном куске 3 метра ткани, а во втором – 7 метров такой же ткани. Второй кусок стоит на 240 рублей дороже. Сколько стоит каждый кусок?
1 этап. Восприятие и осмысление задачи
Учитель совместно с учащимися составляет краткую запись в виде таблицы.
2 этап. Поиск плана решения
Схемы, используемые на этапе поиска плана решения задачи:
Таблица 14
|
Схема разбора от данных к вопросу |
С использованием геометрических фигур |
|
|
|
3 этап. Выполнение плана решения
Различные способы решения:
1 способ: 2 способ:
1) 7-3=4 (м) 1) 7-3=4 (м)
2) 240:4=60 (руб.) 2) 240:4=60 (руб.)
3) 60●3=180 (руб.) 3) 60●3=180 (руб.)
4) 180+240=420 (руб.) 4) 60●7=420 (руб.)
4 этап. Проверка решения
Решение задачи различными способами является способом проверки.
5 этап. Формулировка ответа на вопрос задачи (вывода о выполнении требования)
Ответ: 180 руб. стоит первый кусок, 420 руб. - второй кусок ткани.
6 этап. Исследование решения. Целесообразно обсудить, какой способ решения задачи более рациональный.
Таким образом, можно выделить следующие особенности составных задач с пропорциональными величинами:
|
Этапы решения задачи
|
Задачи на нахождение четвертого пропорционального |
Задачи на пропорциональное деление
|
Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям |
|
Восприятие и осмысление текста задачи
|
Выявление данных и искомого задачи в ходе проведения фронтальной беседы. Оформление краткой записи в виде таблицы.
|
||
|
Поиск плана решения задачи |
Проведение рассуждений «от вопроса к данным» и (или) «от данных к вопросу» как с построением графической схемы, так и без нее. |
||
|
Выполнение плана решения |
Запись решения по действиям с пояснением, выражением. |
Запись решения по действиям с пояснением, по действиям с вопросами.
|
|
|
Проверка решения |
Составление и решение обратной задачи, решение другим способом. |
Решение задачи другим способом, установление соответствия между результатом решения и условием задачи. |
|
|
Формулировка ответа |
Формулирование полного ответа на вопрос задачи без обосновывающей части устно или письменно. |
||
|
Исследование решения |
Установление единственности или возможности и других результатов решения, удовлетворяющих условию задачи. |
||
