1. Общие вопросы методики изучения действий умножения и деления в начальной школе
В ФГОС НОО действия умножения и деления рассматриваются в разделе «Арифметические действия» (таблица 1).
|
Содержание изучения |
Характеристика деятельности учащихся |
|
Умножение. Множители, произведение. Знак умножения. Таблица умножения. Перестановка множителей в произведении двух чисел. Перестановка и группировка множителей в произведении нескольких чисел. Умножение на нуль, умножение нуля. Деление. Делимое, делитель, частное. Знак деления. Деление в пределах таблицы умножения. Внетабличное деление в пределах ста. Деление нуля. Деление с остатком. Взаимосвязь умножения и сложения, умножения и деления, деления и вычитания. Нахождение неизвестного компонента умножения, деления. Устное умножение и деление в пределах ста (и в случаях, сводимых к выполнению действий в пределах ста). Умножение и деление суммы на число. Алгоритмы письменного умножения и деления многозначного числа на однозначное, двузначное, трехзначное число. |
Сравнивать разные способы вычислений, выбирать удобный. Моделировать ситуации, иллюстрирующие арифметическое действие и ход его выполнения. Использовать математическую терминологию при записи и выполнении арифметического действия (сложения, вычитания, умножения, деления). Моделировать изученные арифметические зависимости. Прогнозировать результат вычисления. Пошагово контролировать правильность и полноту выполнения алгоритма арифметического действия. |
В основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения и деления лежит теоретико-множественный подход.
При разъяснении смысла действия умножения учащимся сообщается, что «сложение одинаковых слагаемых можно заменить действием умножения».
произведение
7 ● 2 = 14
множитель множитель значение произведения
Действие умножения обозначается знаком «●» (умножить). Запись «7●2» – это произведение. «7●2=14»: 14 – значение произведения, 2 и 7 – множители: 2 – первый множитель, 7– второй множитель.
При разъяснении смысла действия деления рассматриваются два вида деления:
1) деление по содержанию: «На конверты наклеили 6 марок: по 2 марки на каждый конверт. Сколько получилось конвертов с марками?»
6:2=3 (к.)
Ответ: 3 конверта.
2) деление на равные части: «6 яблок разложили на 3 тарелки поровну. Сколько яблок положили на каждую тарелку?»
6:3=2 (ябл.)
Ответ: 2 яблока.
частное
28 : 7 = 4
делимое делитель значение частного
Действие деления обозначают знаком «:» (разделить). Запись «28:7» – это частное. «28:7=4»: 4 – значение частного, 28 – делимое, 7 – делитель.
Правила нахождения неизвестного компонента:
Если значение произведения разделить на один множитель, то получится другой множитель.
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно значение частного умножить на делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на значение частного.
Свойства умножения и деления
Умножение:
· коммутативность (переместительное свойство): 2●3=3●2 . От перестановки множителей значение произведения не изменяется.
· ассоциативность (сочетательное свойство): (2●3) ●5=2● (3●5). Произведение двух соседних множителей можно заменить его значением.
· распределительное свойство: рассматриваются два правила:
а) умножение суммы на число: (2+3)●5=2●5+3●5 при умножении суммы на число можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.
б) умножение числа на сумму: 73● (20+8)=73●20+73●8
· а●1=а, а●0=0 . Принимаются без пояснений. Учащимся сообщается, что так принято в математике.
· 1●а=а, 0●а=0. Эти правила выводятся методом неполной математической индукции:
1●2=1+1=2
1●3=1+1+1=3
1●а=а.
Деление:
· деление суммы на число: (6+9):3=6:3+9:3
· а:1=а, 0:а=0 (на основе взаимосвязи с умножением)
· невозможность деления на 0: 8 нельзя разделить на 0, т.к. нельзя подобрать такое число, которое при умножении на 0 дает 8.
Методика изучения табличного умножения и деления
Центральной задачей темы «Умножение и деление» является формирование навыков табличного умножения и деления.
Изучение табличных случаев умножения и деления
по программе «Школа России» (М.И.Моро, М.А.Бантова и др.)
Во 2 классе при изучении табличных случаев для 2 и 3 составляются две таблицы умножения. В 3 классе при рассмотрении случаев умножения для чисел 4-9 составляются две таблицы умножения и две таблицы деления:
• таблица умножения по постоянному первому множителю (3∙3, 3∙4, 3∙5 и т.д.) – в этом случае учащиеся легко находят значение следующего выражения, пользуясь результатом предыдущего (3∙5=3∙4+3);
• таблица умножения по постоянному второму множителю (3∙3, 4∙3, 5∙3 и т.д.) вводится после изучения переместительного свойства умножения;
• таблица деления на данное число (9:3, 12:3, 15:3 и т.д.);
• таблица деления с результатом равным данному числу (9:3=3, 12:4=3, 15:5=3 и т.д.).
Затем составляется сводная таблица умножения.
2∙2
3 ∙2 3 ∙3
4 ∙2 4 ∙3 4 ∙4
5 ∙2 5 ∙3 5 ∙4 5 ∙5 и т.д.
Таблица содержит 36 случаев для запоминания. Каждый столбик начинается со случая умножения одинаковых множителей, заканчивается умножением числа 9 на данное число. Результаты деления учащиеся находят по таблице умножения.
Изучение табличных случаев умножения и деления по программе «Гармония» (Н.Б.Истомина)
Составление и усвоение таблицы умножения начинается во 2 классе со случаев умножения с числами 8 и 9.
Составление таблицы осуществляется небольшими порциями по 3-4 табличных случая, которые даются для запоминания. Например, 9 ∙2, 9 ∙3, 9 ∙4. В качестве опорного дается случай 9 ∙3, который позволяет легко найти значения двух других выражений: 9 ∙3=27, 9 ∙2= 9 ∙3-9, 9 ∙4= 9 ∙3+9.
Все остальные табличные случаи умножения и деления рассматриваются в 3 классе. При этом осуществляется опора на смысл действий умножения и деления, переместительное свойство умножения, на понятия «увеличить (уменьшить) в несколько раз».
Заканчивается изучение составлением сводной таблицы умножения.
Изучение табличных случаев умножения и деления в программе Л.Г.Петерсон
Во втором классе после ознакомления учащихся со смыслом действия умножения, названиями результата и компонентов действия умножения, переместительным свойством умножения, случаями умножения с 0 и 1 формируются общие представления о таблице умножения.
Затем рассматриваются случаи умножения числа 2, на 2. Осуществляется знакомство с делением, как операции, обратной умножению. Вводятся названия результата и компонентов действия деления. Случаи деления с 0 и 1.
Изучение табличного умножения и деления на 3, 4, …9 идет в следующем порядке:
• повторение ритмичного счета через 3, 4, 5, …9 и хоровое проговаривание чисел, кратных 3, 4, 5, …9;
• самостоятельное составление учащимися таблиц умножения (числа, на число), деления (по содержанию, на равные части).
Изучение табличных случаев умножения и деления в системе развивающего обучения Л.В.Занкова
Изучение действий умножения и деления начинается во 2 классе. Умножение рассматривается как действие, заменяющее сложение в случае равенства слагаемых. Деление, как действие, обратное умножению. Затем умножение и деление рассматриваются как действия, позволяющие увеличить или уменьшить число в несколько раз, узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого.
Первым шагом в составлении таблицы умножения является рассмотрение таблицы сложения с точки зрения выделения сумм, в которых сложение можно заменить умножением.
Составляются таблицы умножения по постоянному второму и первому множителям. Табличное деление выполняется на основе использования таблицы умножения и взаимосвязи между этими действиями.
Методические приемы, направленные на лучшее усвоение табличных случаев умножения и деления:
1) Установление закономерностей, в способе получения результата умножения.
- прием, в основе которого лежит определение умножения:
а) Чтобы найти произведение 8●2, заменим его суммой одинаковых слагаемых 8●2=8+8. Т.к. 8+8=16, то 8●2=16.
б) Вычислим произведение 6●9. Легко запомнить, что 6●8=48, тогда 6●9=6●8+6=48+6=54.
- прием, в основе которого лежит переместительное свойство умножения:
Найдем значение произведения 8●6. Легко запомнить 6●8=48. Значит 8●6=48.
- прием, в основе которого лежит распределительное свойство умножения:
Найдем значение произведения 8●7. Легко запомнить, что 8●5=40 и 8●2=16. Тогда 8●7=8●5+8●2=40+16=56.
- прием, в основе которого лежит сочетательное свойство умножения
Найдем произведение 9●4. Легко запомнить, что 9●2=18. Тогда 9●4=(9● (2●2))=((9●2) ●2)=18●2=18+18=36.
2) Использование дидактических игр («Шифровка», «Лото» и т.д.).
3) Использование исторического и занимательного материала.
4) Использование пособия Унгру.
5) Зеркальная таблица для числа 9.
6) Чтение таблицы умножения (по строчкам, столбцам, результаты).
7) Рассмотрение таблицы умножения на пальцах для числа 9 (Загибается палец, соответствующий второму множителю. Количество пальцев до согнутого – число десятков. После согнутого – число единиц).
