7. Вещественные числа. Система аксиом множества действительных чисел.

Множество R называется множеством вещественных чисел, если на нём выполняется система аксиом:

1. Аксиома сложения
на lR x lR задана операция сложения

1. ∃ нейтральный элемент +отобр.  lR x lR → lR обладает свойствами: o ∈ lR такой, что для ∀x ∈ lR (o+x = x+o = x)
2.  ∀x ∈ lR ∃ противоположный элемент -х такой, что х+(-х) = -х+х = 0;
3. ​операция сложения ассоциативна: ∀x, y, z ∈ lR ((x+y)+z = x+(y+z))
4. коммутативность:  ∀x, y ∈ lR (x+y = y+x)

2.  Аксиома умножения

1. ∃ элемент 1 ∈ lR ≠ 0 (1*х = х*1 = х)
2. х≠0 ∀x ∈ lR ∃ обратный элемент х^-1 (x * x^-1 = x^-1 * x = 1)
3. ассоциативность:  ∀x, y, z ∈ lR ( (x*y)*z = x*(y*z) )
4. коммутативность: ∀x, y ∈ lR (x*y = y*x)
    

3. Связь сложения и умножения
(дистрибутивность умножения относительно сложения) 

∀x, y, z ∈ lR (x*(y+z) = x*y+x*z)

4. Аксиома порядка
на множестве lR задано отношение элем. ≤ линейного порядка

1. Рефлективность:  ∀x ∈ lR (x≤x)
2. ∀x, y ∈ lR ( (x≤y) ^ (y≤x) ⇒ x=y)
3. Транзитивность: ∀x, y, z ∈ lR ( (x≤y) ^ (y≤z) ⇒ x≤z)
4. ∀x, y ∈ lR ( (x≤y) ∨ (y≤x) )

5. Связь сложения и отношения порядка
∀x, y, z ∈ lR ( (x≤y) ⇒ x+z ≤ y+z )

6. Связь умножения и отношения порядка
∀x, y ∈ lR ( (о≤x) ^ (о≤y) ⇒ о≤ x*y

7. Аксиома непрерывности 

Пусть X и Y ≠ Ø ( непустые множества) lR. Если ∀x∈Х ∀y∈Y (x≤y), то ∃ с∈lR (x≤c≤y)