мощьностью мн-ва Х называется класс равномощных ему мн-в
Мн-ва Х и У называются равномощными, если существует равнозначное отображение f: x->y
Теорема Кантора
Теорема Кантора. Множество всех подмножеств множества А имеет мощность большую, чем мощность множества А. Обозначение: 2^А – множество всех подмножеств множества А. В принятых обозначениях мощности и множества всех подмножеств теорема Кантора записывается так: µ(А)< µ(2^А)
Пусть Х мн-во и У=Р(Х) мн-во всех подмножеств Х
Тогда кардинальное число(х) < кардинального числа(у)
- card(x)<=card(y), т.к У содержит все одинаковые элементные подмножества Х
- докажем, что card(x) не = card(y). пусть card(x) = card(y) => существует биективное отображение f:x->y. Рассмотрим мн-во А={х э Х| х не э f(A)}, т.к f- биекция, то сущест. а э Х {f(a)=A} Заметим , что а э А невозможно по определению мн-ва А; с другой стороны, а не э А опять невозможно по определению А; получаем противоречие.
