13.4. Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова
Теорема Чебышева легко может быть обобщена на более сложный случай, а именно когда закон распределения случайной величины 
от опыта к опыту не остается одним и тем же, а изменяется. Тогда вместо среднего арифметического наблюденных значений одной и той же величины с постоянными математическим ожиданиеми дисперсией мы имеем дело со средним арифметическим 
различных случайных величин, с различными математическими ожиданиями и дисперсиям. Оказывается, что и в этом случае при соблюдения некоторых условий среднее арифметическое является устойчивым и сходится по вероятности к определенной неслучайной величине.
Обобщенная теорема Чебышева формулируется следующим образом. Если
-
независимые случайные величины с математическими ожиданиями
и дисперсиями
и если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом 
:
,
то при возрастании среднее арифметическое наблюденных значений величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.
Запишем эту теорему в виде формулы. Пусть 
- сколь угодно малые положительные числа. Тогда при достаточно большом
. (13.4.1)
Доказательство. Рассмотрим величину
.
Ее математическое ожидание равно:
,
.
Применим к величине 
неравенство Чебышева:
,
или
. (13.4.2)
Заменим в правой части неравенства (13.4.2) каждую из величин 
большей величиной . Тогда неравенствотолько усилится:
.
Как бы мало ни было 
, можно выбрать настолько большим, чтобы выполнялось неравенство
;
тогда
,
откуда, переходя к противоположному событию, получим доказываемое неравенство (13.4.1).
Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые случайные величины. Обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин принадлежит А. А. Маркову.
Теорема Маркова. Если имеются зависимые случайные величины и если при 
,
то среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий. Доказательство. Рассмотрим величину
.
Очевидно,
.
Применим к величине неравенство Чебышева:
.
Так как по условию теоремы при 
, то при достаточно большом
,
или, переходя к противоположному событию,
,
что и требовалось доказать.
