13.2. Неравенство Чебышева
В качестве леммы, необходимой для доказательства теорем, относящихся к группе «закона больших чисел», мы докажем одно весьма общее неравенство, известное под названием неравенства Чебышева.
Пусть имеется случайная величина 
с математическим ожиданием 
и дисперсией 
. Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число 
, вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной 
:
. (13.2.1)
Доказательство. 1. Пусть величина прерывная, с рядом распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изобразим возможные значения величины и ее математическое ожидание в виде точек на числовой оси 
(рис. 13.2.1).
Рис. 13.2.1.
Зададимся некоторым значением 
и вычислим вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на :
. (13.2.2)
Для этого отложим от точки вправо и влево по отрезку длиной ; получим отрезок 
. Вероятность (13.2.2) есть не что иное, как вероятность того, что случайная точка попадет не внутрь отрезка , а вовне его:
.
Для того чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значений 
, которые лежат вне отрезка . Это мы запишем следующим образом:
(13.2.3)
где запись 
под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения 
, для которых точки 
, лежат вне отрезка .
С другой стороны, напишем выражение дисперсии величины . По определению:
. (13.2.4)
Так как все члены суммы (13.2.4) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения , а только на некоторые, в частности на те, которые лежат вне отрезка :
. (13.2.5)
Заменим под знаком суммы выражение 
через . Так как для всех членов суммы , то от такой замены сумма тоже может только уменьшиться; значит,
. (13.2.6)
Но согласно формуле (13.2.3) сумма, стоящая в правой части (13.2.6), есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка ; следовательно,
,
откуда непосредственно вытекает доказываемое неравенство.
2. В случае, когда величина непрерывна, доказательство проводится аналогичным образом с заменой вероятностей 
элементом вероятности, а конечных сумм - интегралами. Действительно,
. (13.2.7)
где 
- плотность распределения величины . Далее, имеем:
,
где знак 
под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка .
Заменяя 
под знаком интеграла через , получим:
,
откуда и вытекает неравенство Чебышева для непрерывных величин.
Пример. Дана случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией 
. Оценить сверху вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на 
.
Решение. Полагая в неравенстве Чебышева 
, имеем:
,
т. е. вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдет за пределы трех средних квадратических отклонений, не может быть больше 
.
Примечание. Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения. На практике в большинстве случаев вероятность того, что величина выйдет за пределы участка 
, значительно меньше . Например, для нормального закона эта вероятность приблизительно равна 0,003. На практике чаще всего мы имеем дело со случайными величинами, значения которых только крайне редко выходят за пределы . Если закон распределения случайной величины неизвестен, а известны только и 
, на практике обычно считают отрезок участком практически возможных значений случайной величины (так называемое «правило трех сигма»).
