13.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева)
В данном 
мы докажем одну из простейших, но вместе с тем наиболее важных форм закона больших чисел - теорему Чебышева. Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений случайной величины и ее математическим ожиданием.
Предварительно решим следующую вспомогательную задачу.
Имеется случайная величина 
с математическим ожиданием 
и дисперсией 
. Над этой величиной производится 
независимых опытов и вычисляется среднее арифметическое всех наблюденных значений величины . Требуется найти числовые характеристики этого среднего арифметического - математическое ожидание и дисперсию - и выяснить, как они изменяются с увеличением .
Обозначим:
- значение величины в первом опыте;
- значение величины во втором опыте, и т. д.
Очевидно, совокупность величин 
представляет собой независимых случайных величин, каждая из которых распределена по тому же закону, что и сама величина . Рассмотрим среднее арифметическое этих величин:
.
Случайная величина 
есть линейная функция независимых случайных величин . Найдем математическое ожидание и дисперсию этой величины. Согласно правилам 10 для определении числовых характеристик линейных функций получим:
;
.
Итак, математическое ожидание величины не зависит от числа опытов и равно математическому ожиданиюнаблюдаемой величины ; что касается дисперсии величины , то она неограниченно убывает с увеличением числа опытов и при достаточно большом может быть сделана сколь угодно малой. Мы убеждаемся, что среднее арифметическое есть случайная величина со сколь угодно малой дисперсией и при большом числе опытов ведет себя почти как не случайная.
Теорема Чебышева и устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического. Она формулируется следующим образом:
При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значении случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.
Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого напомним смысл термина «сходится по вероятности». Говорят, что случайная величина 
сходится по вероятности к величине 
, если при увеличении вероятность того, что и будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом
,
где 
- произвольно малые положительные числа.
Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, что при увеличении среднее арифметическое 
сходится по вероятности к , т. е.
. (13.3.1)
Докажем это неравенство.
Доказательство. Выше было показано, что величина
имеет числовые характеристики
; 
.
Применим к случайной величине неравенство Чебышева, полагая 
:
.
Как бы мало ни было число 
, можно взять таким большим, чтобы выполнялось неравенство
где 
- сколь угодно малое число.
Тогда
,
откуда, переходя к противоположному событию, имеем:
,
что и требовалось доказать.
