8.4. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения
Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин входящих в систему. В 
мы уже вывели выражения для функций распределения отдельных величин, входящих в систему, через функцию распределения системы, а именно, мы показали, что
(8.4.1)
Выразим теперь плотность распределения каждой из величин входящих в систему, через плотность распределения системы. Пользуясь формулой (8.3.5), выражающей функцию распределения через плотность распределения, напишем:
,
откуда, дифференцируя по 
, получим выражение для плотности распределения величины 
:
(8.4.2)
Аналогично
(3.4.3)
Таким образом, для того чтобы получить плотность распределения одной из величин, входящих в систему, нужно плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине.
Формулы (8.4.1), (8.4.2) и (8.4.3) дают возможность, зная закон распределения системы (заданный в виде функции распределения или плотности распределения), найти законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Естественно, возникает вопрос об обратной задаче: нельзя ли по законам распределения отдельных величин, входящих в. систему, восстановить закон распределения системы? Оказывается, что в общей случае этого сделать нельзя: зная только законы распределения отдельных величин, входящих в систему, не всегда можно найти закон распределения системы. Для того чтобы исчерпывающим образом охарактеризовать систему, недостаточно знать распределение каждой из величин, входящих в систему; нужно еще знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость может быть охарактеризована с помощью так называемых условных законов распределения.
Условным законом распределения величины , входящей в систему 
, называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина 
приняла определенное значение 
.
Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью. Условная функция распределения обозначается 
условная плотность распределения 
. Так как системы непрерывных величин имеют основное практическое значение, мы в данном курсе ограничимся рассмотрением условных законов, заданных плотностью распределения.
Чтобы нагляднее пояснить понятие условного закона распределения, рассмотрим пример. Система случайных величин 
и 
представляет собой длину и вес осколка снаряда. Пусть нас интересует длина осколка безотносительно к его весу; это есть случайная величина, подчиненная закону распределения с плотностью 
. Этот закон распределения мы можем исследовать, рассматривая все без исключения осколки и оценивая их только по длине; есть безусловный закон распределения длины осколка. Однако нас может интересовать и закон распределения длины осколка вполне определенного веса, например 10 г. Для того чтобы его определить, мы будем исследовать не все осколки, а только определенную весовую группу, в которой вес приблизительно равен 10 г, и получим условный закон распределения длины осколка при весе 10 г с плотностью 
при 
. Этот условный закон распределения вообще отличается от безусловного ; очевидно, более тяжелые осколки должны в среднем обладать и большей длиной; следовательно, условный закон распределения длины существенно зависит от веса 
.
Зная закон распределения одной из величин, входящих в систему, и условный закон распределения второй, можно составить закон распределения системы. Выведем формулу, выражающую это соотношение, для непрерывных случайных величин. Для этого воспользуемся понятием об элементе вероятности. Рассмотрим прилежащий к точке 
элементарный прямоугольник 
со сторонами 
, 
(рис. 8.4.1). Вероятностьпопадания в этот прямоугольник - элемент вероятности 
- равна вероятности одновременного попадания случайной точки в элементарную полосу I, опирающуюся на отрезок , и в полосу II, опирающуюся на отрезок :
.
Рис.8.4.1
Вероятность произведения этих двух событий, по теореме умножения вероятностей, равна вероятности попадания в элементарную полосу I, умноженной на условную вероятность попадания в элементарную полосу II, вычисленную при условии, что первое событие имело место. Это условие в пределе равносильно условию 
, следовательно,
,
откуда
, (8.4.4)
т.е. плотность распределения системы двух величин равна плотности распределения одной из величин, входящих в систему, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение.
Формулу (8.4.4) часто называют теоремой умножения законов распределения. Эта теорема в схемеслучайных величин аналогична теореме умножения вероятностей в схеме событий.
Очевидно, формуле (8.4.4) можно придать другой вид, если задать значение не величины , а величины :
. (8.4.5)
Разрешая формулы (8.4.4) и (8.4.5) относительно 
и , получим выражения условных законов распределения через безусловные:
(8.4.6)
или, применяя формулы (8.4.2) и (8.4.3),
(8.4.7)
