8.2. Функция распределения системы двух случайных величин
Функцией распределения системы двух случайных величин 
называется вероятность совместного выполнения двух неравенств 
и 
:
.
Если пользоваться для геометрической интерпретации системы образом случайной точки, то функция распределения 
есть не что иное, как вероятность попадании случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке 
, лежащий левее и ниже ее (рис. 8.2.1). В аналогичной интерпретации функция распределения одной случайной величины 
- обозначим ее 
- представляет собой вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную справа абсциссой 
(рис. 8.2.2); функция распределения одной величины 
- вероятность попадания в полуплоскость, ограниченную ординатой у (рис. 8.2.3).
Рис. 8.2.1
В 
5.2 мы привели основные свойства функции распределения 
для одной случайной величины. Сформулируем аналогичные свойства для функции распределения системы случайных величин и снова воспользуемся геометрической интерпретацией для наглядной иллюстрации этих свойств.
1. Функция распределения есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т. е.
при 
;
при 
.
В этом свойстве функции можно наглядно убедиться, пользуясь геометрической интерпретацией функции распределения как вероятности попадании в квадрант с вершиной (рис. 8.2.1). Действительно, увеличивая (смещая правую границу квадранта вправо) или увеличивая 
(смещая верхнюю границу вверх), мы, очевидно, не можем уменьшить вероятность попадания в этот квадрант.
Рис. 8.2.2 Рис. 8.2.3
2. Повсюду на 
функция распределения равна нулю:
.
В этом свойстве мы наглядно убеждаемся, неограниченно отодвигая влево правую границу квадранта 
или вниз его верхнюю границу 
или делая это одновременно с обеими границами; при этом вероятностьпопадания в квадрант стремится к нулю.
3. При одном из аргументов, равном 
, функция распределил системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:
,
где 
- соответственно функции распределения случайных, функция распределения величин и 
.
В этом свойстве функции распределения можно наглядно убедиться, смещая ту или иную из границ квадранта на ; при этом в пределе квадрант превращается в полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной из величин, входящих в систему.
4. Если оба аргумента равны , функция распределения системы равна единице:
.
Действительно, при 
, 
квадрант с вершиной в пределе обращается во всю плоскость 
, попадание в которую есть достоверное событие.
При рассмотрении законов распределения отдельных случайных величин (глава 5) мы вывели выражение для вероятности попадания случайной величины в пределы заданного участка. Эту вероятность мы выразили как через функцию распределения, так и через плотность распределения.
Аналогичным способом для системы двух случайных величин является вопрос о вероятности попадания случайной точки в пределы заданной области 
на плоскости (рис.8.2.4).
Рис. 8.2.4
Условимся событие, состоящие в попадании случайной точки в область , обозначать символом 
.
Вероятность попадания случайной точки в заданную область выражаются наиболее просто в том случае, когда эта область представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.
Выразим через функцию распределения системы вероятность попадания случайной точки в прямоугольник 
, ограниченный абсциссами 
и 
и ординатами 
и 
(рис. 8.2.5).
При этом следует условиться, куда мы будем относить границы прямоугольника. Аналогично тому, как мы делали для одной случайной величины, условимся включать в прямоугольник его нижнюю и левую границы и не включать верхнюю и правую. Тогда событие 
будет равносильно произведению двух событий: 
и 
. Выразим вероятность этого события через функцию распределения системы. Для этого рассмотрим на плоскости четыре бесконечных квадранта с вершинами в точках 
; 
; 
и 
(рис. 8.2.6).
Рис. 8.2.5. Рис. 8.2.6
Очевидно, вероятность попадания в прямоугольник равна вероятности попадания в квадрант минус вероятность попадания в квадрант минус вероятность попадания в квадрант плюс вероятностьпопадания в квадрант (так как мы дважды вычли вероятность попадании в этот квадрант). Отсюда получаем формулу, выражающую вероятность попадания в прямоугольник через функцию распределения системы:
. (8.2.2)
В дальнейшем, когда будет введено понятие плотности распределения системы, мы выведем формулу для вероятности попадания случайной точки в область произвольной формы.
