В классическом определении вероятности исходят из того что пространство элементарных исходов содержит конечно число элементарных исходов, причем все они равновозможны. Понятие равновозможности поясним следующим образом.
Элементарные исходы в некотором опыте называются равновозможными, если в силу условий проведения опыта можно считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Опыт, удовлетворяющий условию равновозможности элементарных исходов, часто называют также „ классической схемой".
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу n равновозможных элементарных исходов, т.е.
где m – число благоприятствующих событию А исходов опыта
n – число всех исходов опыта
Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.
Заметим, что наряду с названием „классическая схема" используют также названия „случайный выбор", „равновероятный выбор" и т.д. Такие события называют случаями или «шансами». Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу событий.
Несколько событий в данном опыте называют равновозможными, если по условию симметрии есть основание считать, что ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие.
Если опыт обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой исчерпывающий набор его равновозможных и исключающих друг друга исходов. Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев (схеме урн). Для таких опытов возможен непосредственный подсчет вероятностей по формуле.
Пример. Из урны, содержащей k = 10 белых и l = 20 черных шаров (шары отличаются лишь цветом), наугад вынимают один шар. Требуется найти вероятность Р(А) события А, заключающегося в том, что из урны извлечен белый шар.
Для решения поставленной задачи заметим, что число элементарных исходов в данном опыте совпадает с общим числом шаров в урне N=k+l=30,
Причем все исходы равновозможны, а число благоприятствующих событию А исходов NA=k=10
Поэтому в соответствии с определением классической вероятности
P(A)=k/k+l=10/30=1/3
Используя классическое определение вероятности события, докажем следующие свойства.
Свойства вероятности
1. Вероятность достоверного события равна 1. P(Ω)=1
Доказательство
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход благоприятствует событию. В этом случае m=n, следовательно,
P(A)=n/n=1
2. Вероятность невозможного события равна 0. P(∅)=0
Доказательство
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m=0, следовательно,
P(A)=0/n=0
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. 0≤P(A)≤1
Доказательство
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов эксперимента. В этом случае 0≤m≤n, значит,
0≤m/n≤1
Следовательно, 0≤P(A)≤1
4. Если события A и В несовместны (AB=∅), то
P(A+B)=P(A)+P(B)
Доказательство
Действительно, если событию А благоприятствуют N1исходов, а событию В – N2 исходов, то в силу несовместности и В событию А + В благоприятствуют N1 + N2исходов. Следовательно,
P(A+B)=(N1+N2)/N=N1/N+N2/N=P(A)+P(B)
Недостаток классического определения заключается в том, что оно применимо только к пространствам элементарных исходов, состоящим из конечного числа равновозможных исходов. Этим определением нельзя воспользоваться даже в тех случаях, когда пространство элементарных исходов конечно, но среди исходов есть более предпочтительные или менее предпочтительные.
.JPG)
.jpg)
