Алгебраические операции над событиями.

Рассмотрим операции (действия) над событи­ями, которые, по существу, совпадают с операциями над под­множествами. Эти операции будем иллюстрировать на диа­граммах Эйлера — Венна. На рис. 1.3-1.5 заштрихованы области, которые соответствуют событиям, являющимся результатами таких операций.

1) Пересечением (произведением) двух событий А и В называют событие С, происходящее тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события А и В, т.е. событие, состоящее из тех и только тех элементарных исходов, которые принадлежат и событию А, и событию В — (рис. 1.2а). C=A⋂B; C=AB

События А и В называют несо­вместными, или непересекающимися, если их пересече­ние является невозможным событием, т.е. если A⋂B=∅  (рис. 1.2б). В противном случае события называют со­вместными, или пересекающимися.

2) Объединением (суммой) двух событий А и В называют событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В, т.е. событие С, состоящее из тех элементарных исходов, ко­торые принадлежат хотя бы одному из подмножеств А или В (рис. 1.3а).

Объединение событий А и В записывают в виде: C=AUB.

Если события А и В несовместны, наряду со знаком „U" для их объединения употребляют знак „ + ". Обычно знак „+" применяют в том случае, если заведомо известно, что А и В несовместны, и это особо хотят подчеркнуть. Например, поскольку невозможное событие несовместно с любым собы­тием А, то ∅UA=∅+A=A.

Аналогично определяют понятия произведения и суммы событий для любого конечного числа событий и даже для бесконечных последовательностей событий. Так, событие A₁A₂...A_n...=⋂_n=1A_n состоит из элементарных исходов, принадлежащих всем собы­тиям A_n,nN, а событие A₁UA₂U...UA_n=UA_n состоит из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий A_n,nN. В частности, события A_1,A_2,..._,A_n  называют попарно несовместными (непере­секающимися), если A_iA_j=∅ для любых i,j=1,n; i≠j и несовместными (непересекающимися) в совокупности, если A₁A₂...A_n...=∅.

3) Разностью двух событий А и В называют событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В, т.е. событие С, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат А, но не принадлежат В (рис. 1.3б). C=A\B

4) Дополнением события А (обычно обозначают ) называют событие, происходящее тогда и толь­ко тогда, когда не происходит событие А (рис. 1.4а). Другими словами,

A=Ω\A.

Событие ^​A называют также событием, противополож­ным событию А.

Если некоторое событие записано в виде нескольких дей­ствий над различными событиями, то сначала переходят к дополнениям, а затем умножают и, наконец, складывают и вы­читают (слева направо) события.

Следует отметить, что все действия над событиями можно получить с помощью только двух действий — объединения и дополнения (или пересечения и дополнения). Основанием для этого утверждения служат законы де Моргана, а также соотношение A\B=AB.

Кроме перечисленных выше действий над событиями нам в дальнейшем понадобится понятие включения.

Событие А включено в событие В, что записывают A⊂B, если появление события А обязательно влечет за собой наступление события В (рис. 1.4б), или каждый элементарный исход ω_i, принадлежащий А, обязательно принадлежит и событию В.

Ясно, что включение A⊂B эквивалентно равенству AB=A_.

Используют и обратное понятие: событие В включает со­бытие А (BA), если A⊂B.

Основные свойства операций над событиями: