Формально x∈X∪Y ⇔ x∈X или x∈Y

Пример 1. Если X={1,2,3,4,5} и Y={2,4,6,8}, то

X∪Y={1,2,3,4,5,6,7,8}

Формально x∈X∩Y ⇔ x∈X и x∈Y

Пример 2. X={1,2,3,4,5} Y={2,4,6,8} X∩Y = {2,4}

Аналогично объединению понятие пересечения можно распространить на систему множеств: ∩X=∩X_i=X₁∩X₂∩...∩X_n

Формально: x∈X\Y ⇔ x∈X и x∉Y

Пример 3. (см. Пример 1) X={1,2,3,4,5}, Y={2,4,6,8}, X\Y={1,3,5}, Y\X={6,8}

Формально: X = {x: x∈Q и x∉X}.

Порядок выполнения операций:

1. дополнение;
2. пересечение;
3. объединение, разность.

Для изменения порядка используют скобки.

S = A⊕B = (A\B)∪(B\A) = (A∩B¯)∪(A¯∪B) = (A∪B)∩(A∩B)¯

Тождества алгебры множеств

С помощью операций объединения, пересечения и дополнения из множеств можно составлять различные алгебраические выражения.

Если алгебраические выражения V(X,Y,Z) и S(X,Y,Z) представляют собой одно и то же множество, то их можно приравнять друг другу, получая алгебраическое тождество вида V(X,Y,Z) = S(X,Y,Z)

1. (X∪Y)∩Z = (X∩Z)∪(Y∩Z) (аналогичное дистрибутивному закону (a+b)c=(a+c)(b+c) в обычной алгебре).
2. (X∩Y)∪Z = (X∪Z)∩(Y∪Z)
3. Если Y⊆X, то X∩Y=Y, X∪Y=X. 
4. X⊆X, то X∩Х=Х, X∪Х=X. (идемпотентность).
5. (X∪Y)¯=X¯∩Y¯ и (X∩Y)¯=X¯∪Y¯. тождества де-Моргана.
6. (A\B)∩C=(A∩C)\B=(A∩C)\(B∩C)
7. A\B=A\(A∩B)
8. A=(A∩B)∪(A\B)​

​Практика