Классификация игр.

http://ab-yusov.ru/session/TI%20lect.pdf

Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры. В зависимости от числа игроков различают игры с двумя, тремя и более участниками. Согласно другому принципу классификации – по количеству стратегий – различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий (например, в игре в орлянку игроки имеют по два возможных хода – они могут выбрать ''орел'' или ''решку''). Сами стратегии в конечных играх нередко называются чистыми стратегиями, (смысл этого названия будет ясен далее). Соответственно, в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий – так, в ситуации Продавец-Покупатель каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара. Третий способ классификации игр - по свойствам функций выигрыша (платежных функций). Важным случаем в теории игр является ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. налицо прямой конфликт между игроками. Подобные игры называются играми с нулевой суммой, или антагонистическими играми. Прямой противоположностью играм такого типа являются игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща. Между этими крайними случаями имеется множество игр с нулевой суммой, где имеются и конфликты, и согласованные действия игроков. В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры. Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной. Очевидно, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования коалиции в парламенте для принятия путем голосования решения, так или иначе затрагивающего интересы участников голосования.

По информации, которой располагают игроки. а) В играх с полной информацией каждый из игроков имеет полную информацию о платежных функциях каждого игрока. В этом случае они могут исключить из рассмотрения заведомо проигрышные стратегии дру­ гих игроков, а это, в свою очередь, может повлиять и на выбор собствен­ ной стратегии. б) В играх с неполной информацией некоторые из игроков (по крайней мере один) не располагают полной информацией о платежных функциях всех других игроков. Тогда они ориентируются на свою функцию выигрыша и на вероятностное распределение на множестве возможных функций выигрыша других игроков. Полезность информации приводит к вопросу о возможности ее приобретения, например покупки. в) В играх с совершенной информацией каждый игрок при осуществле­ нии своего хода знает всю предысторию развития игры, т.е. всю последо­ вательность осуществляемых игроками ходов от начала игры до текущего момента. г) В играх с несовершенной информацией хотя бы один из игроков при осуществлении какого­то своего хода не располагает полным знанием всей предыстории развития игры. Например, игрок на четвертом ходе не знает, каков выбор сделал его противник на предыдущем ходе. Следует отметить, что данная классификация игр не является единой и общепринятой и носит, в общем, индивидуальный характер: в других книгах можно встретить иной подход к классификации игр. Более того, одну и ту же игру иногда можно представить либо как статическую игру с совершенной информацией, либо как динамическую игру с несовершен­ ной информацией. Так что данное разбиение по типам игр не является жест­ ким и однозначным

По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконеч­ные. Если в игре каждый из игроков имеет конечное число возмож­ных стратегий, то она называется конечной. Если хотя бы один из иг­роков имеет бесконечное количество возможных стратегий, то такая игра называется бесконечной. Отсюда вытекает, что понятие бесконеч­ной игры связывается не с продолжительностью проведения игры, а с неограниченным количеством стратегий. Пусть, например, первый игрок имеет две стратегии, второй —десять стратегий, а третий — •сто стратегий, тогда это конечная игра трех игроков (все игроки имеют конечное число стратегий). Если, например, в некоторой игре первый игрок имеет две стратегии, второй —десять стратегий, а третий — бесконечное количество (счетное множество или континуум) стратегий, то это бесконечная игра трех игроков (один из игроков имеет беско­нечное число стратегий). Если, например, имеются два игрока, для каждого из которых стратегией является число из отрезка [0, 1], то это бесконечная игра двух игроков (оба игрока имеют континуум стра­тегий). Трудности решения игр зависят от количества стратегий. Как правило, с увеличением количества стратегий повышаются труд­ности решения игр.

По характеру взаимоотношений игры делятся на: бескоалиционные, кооперативные и коалиционные. Бескоалиционными называются игры, в которых игроки не имеют права вступать в соглашения, образовы­вать коалиции. Например, бескоалиционной будет военная ситуация,

юв которой сражение ведется без компромиссов, до победы. Коалици­онной игрой называется игра, в которой игроки могут вступать в со­глашения, образовывать коалиции. Например, коалиционной будет военная игра (ситуация), в которой противники могут вступать в переговоры с целью достигнуть компромиссного решения возникшей ситуации. В кооперативной игре коалиции наперед определены.

По характеру выигрышей они делятся на: игры с нулевой суммой и игры с ненулевой суммой. Игра с нулевой суммой будет тогда, когда сумма выигрышей всех игроков в каждой ее партии равна нулю, т. е. в игре с нулевой суммой общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками в зависимости от получаю­щихся исходов. Так, многие экономические и военные ситуации можно рассматривать как игры с нулевой суммой.

В частности игра двух игроков с нулевой суммой называется ан­тагонистической, так как цели игроков в ней прямо противополож­ные: выигрыш одного игрока происходит только за счет проигрыша другого.

Примером игры с ненулевой суммой могут быть торговые взаимо­отношения между странами. В результате применения своих стратегий все страны могут быть в выигрыше. Всякая игра, в которой надо вносить взнос некоторому лицу за право принимать участие в ней, является игрой с ненулевой суммой. Действительно, в этом случае всегда в выигрыше получается некоторое лицо, которое не прини­мает участия в игре, а получает взнос от игроков, теряющих свой капитал за счет этих взносов. Другим примером служит лотерея: в ней организатор всегда имеет выигрыш, а участники игры —лица, купившие лотерейные билеты,— в сумме получают выигрыш меньше, чем они внесли.

Игры с ненулевой суммой решаются сложнее, так как они содержат все трудности, присущие играм с нулевой суммой и еще дополнитель­ные трудности, связанные с возможностью получения дополнительно­го выигрыша. В принципе игру с ненулевой суммой можно свести к некоторой искусственной игре с нулевой суммой, введя дополнитель­ного фиктивного игрока, получающего сумму выигрыша, дополняюще­го до нуля. Однако в этом случае увеличивается количество игроков, и этот дополнительный игрок не является равноценным. Поэтому та­кой подход не улучшает дела.

По виду функций выигрышей игры делятся на: матричные, бимат-ричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.