http://elar.urfu.ru/bitstream/10995/18311/1/iuro-2010-77-07.pdf
Методы математического анализа страховых рисков и финансовой устойчивости страховых компаний основываются на теории индивидуального и коллективного риска, которые могут быть использованы как для краткосрочных, так и для долгосрочных видов страхования, требующих учета влияния временнуго фактора.
Модель индивидуального риска базируется на анализе влияния каждого отдельного риска, принятого на страхование, на совокупный объем страховых выплат. С математической точки зрения совокупный объем страховых выплат по каждому риску рассматривается как сумма случайных величин, принимающих либо нулевое значение, либо значение, соответствующее фактическим выплатам.
Иными словами, рассматривается совокупность объектов страхования (страховой портфель), сформированная единовременно; страховые премии собраны в момент формирования портфеля; срок действия всех договоров страхования одинаков; и в течение этого срока происходят страховые события, приводящие к страховым выплатам (искам).
Модель индивидуального риска — это простейшая модель функционирования страховой компании, предназначенная для расчета вероятности разорения. Она строится на основе следующих упрощающих предположений:
1)анализируется фиксированный относительно короткий промежуток времени (так чтобы можно было пренебречь инфляцией и не учитывать доход от инвестирования активов), обычно это один год;
2)число договоров страхования N фиксировано и неслучайно;
3)премия полностью вносится в начале анализируемого периода; никаких поступлений в течение этого периода нет;
4)наблюдается каждый отдельный договор страхования, при этом известны статистические свойства связанных с ним индивидуальных потерь X.
Достаточность резерва оценивается с помощью пороговой вероятности того, что собранных средств хватит для покрытия совокупных выплат в течение исследуемого периода. При этом в зависимости от имеющейся информации эта оценка может делаться как на основе вида функции распределения, так и на основе неравенства Чебышева [3].
Достоинством данного подхода является то, что в ряде случаев оценить параметры распределения таких случайных величин проще для каждого отдельного страхового риска, особенно в имущественном страховании, где риски часто уникальны.
Риск по страховому портфелю в целом можно оценить как сопоставлением случайной величины обязательств с полученной премией и резервами, так и анализом случайной величины дисконтного превышения доходов страховой компании (полученными премиями) над расходами (обязательствами).
Теория коллективного риска исходит из рассмотрения всех принятых на страхование рисков, определяющих совокупный объем страховых выплат. С математической точки зрения совокупный объем страховых выплат по каждому риску рассматривается как сумма случайных величин, соответствующих фактическим выплатам.
При этом рассматривают статические и динамические модели, отличие которых состоит в том, что в динамических моделях учтена зависимость от времени (динамика риска) по сборам и выплатам страховой компании.
Обычно статическую модель финансового состояния страховой компании записывают в форме равенства [1]:
(1)
Q 1 = u + D — X
где Q — страховой фонд на конец рассматриваемого периода; u — начальный капитал страховой компании (в различных источниках именуемый также как начальный резерв страховой компании); D = d · N , где d — страховая премия, выплаченная компании одним страхователем, при условии равенства величины премии по всем договорам страхования, или в более общем случае 
Суммарная величина выплат по договорам страхования определяется суммой
(2)
Обычно предполагается, что в модели индивидуального риска случайные величины X 1 ..., X N независимы (т. е. исключаются события, когда одновременно по нескольким договорам наступают страховые случаи), неотрицательны и ограничены, и, кроме того, все страхователи однородны, т. е. X 1 ..., X N одинаково распределены. Поскольку страховые случаи происходят не по всем договорам, то некоторые из случайных величин X 1 ..., X N , где X i — потери по i - му договору, равны нулю.
Динамическая модель финансового состояния страховой компании записывается в форме равенства, аналогичного (1) [9]:
(3)
где П( t ) — величина премии, полученной к моменту t > 0.
Или, иначе,
(4)
где W ( t ) — случайная величина превышения доходов над расходами, определяется как техническая прибыль; N ( t ) — случайный процесс количества страховых случаев, произошедших к моменту времени t ; при неубывающей последовательности случайных величин t 0 = 0 ≤ t 1 ≤..., характеризующей моменты наступления отдельных исков; T n = t n – t n –1 , n ≥ 0, — время между наступлениями исков; общее количество поданных исков к моменту t 0 составит N ( t ) = sup ( n : t n ≤ t ). Между случайными величинами N ( t ) и последовательностью ( t n ) имеется взаимосвязь ( N ( t ) = n ) = t n ≤ t ≤ t n + 1 ); С — норма рисковой премии, получаемой по всем договорам в каждый момент времени; X i ( t ) — случайный процесс величины ущерба по i - му страховому случаю, произошедшему до момента времени t . При N ( t ) = 0 очевидно, что X ( t ) = 0.
http://www.insurance-institute.ru/content/2da08a03.pdf
Динамические модели отличаются от статических тем, что в них события разворачиваются во времени. Простейшая модель такого рода включает только два процесса: процесс поступления премий и процесс выплаты страховых возмещений. Эти два процесса про текают в разных масштабах времени и имеют разные масштабы измерения. Премии поступают гораздо чаще, чем наступают стра ховые случаи, и при этом величина премии намного меньше вели чины убытков. Поэтому, если в качестве основного рассматривать процесс наступления страховых случаев, то в масштабах этого про цесса поступление премий можно мыслить как непрерывный детер минированный процесс.
В простейшем случае поступление премий характеризуется од~ ним параметром - скоростью поступления средств, которую мы обо" значим с. Это означает, что если в некоторый момент времени t компания имела активы Ut и до момента t + h · страховые случаи не наступали, то активы компании в момент t + h будут равны Ut+h = Ut + ch. Отметим, что в этом рассуждении игнорируются такие важные факторы, как инвестиционный доход и инфляция. В качестве простейшей модели процесса наступления страховых случаев берется пуассоновский процесс; пусть Л - интенсивность этого процесса. Обозначим через Tn момент наступления п-го стра хового случая, Tn = Tn - Tn-1 - интервал между п-м и (п - 1)-м страховыми случаями (То условимся считать равным нулю). В нашей простейшей модели предполагается, что страховое возмещение вьmлачивается немедленно после наступления страхо вого случая. Величины последовательных страховых возмещений У1, У2, . . . считаются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, которые, кроме того, не зависят от про цесса наступления страховых случаев , Т2, ....
Теперь изменение во времени активов компании можно описать следующим образом. В момент t = О компания имеет некоторь1е начальные активы 0 =и. К моменту 1 = 1 наступления перво го страхового случая активы вырастут (за счет поступления пре мий) до величины и+ ст . Однако, в момент Т1 страховая компа ния оплатит убытки величиной 1 и активы уменьшатся до вели чины и + ст1 - У1. К моменту 2 наступления второго страхового случая активы увеличатся на сумму с(Т2 - Т1) = ст2 и составят и+ ст1 - Уз. + ст2 = и+ с(т1 + т2) - . У1. В момент Т2 оплачива ется убыток величиной 2 и активы уменьшаются до величины и+ с(т1 + т2) - (У1 + У2). Этот процесс продолжается до бесконечности, если только в мо мент наступления некоторого страхового случая средств компании не хватит, чтобы оплатить убытки. В этом случае мы говорим о ра зорении компании. Итак, в рамках описываемой модели компания не разорится, если
Основные теоретические результаты для описанной модели за ключаются в следующем:
