http://eos.ibi.spb.ru/umk/6_6/5/5_R4_T4.html#2_4
http://studopedia.su/11_87782_postoyannie-finansovie-renti.html
Поток платежей, все члены которого положительные величины, и временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или аннуитетом.
Если платежи осуществляются в конце временных перидов, то ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если платежи производятся в начале временных интервалов, то их называют пренумерандо.
Наращенная сумма потока платежей – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты, может быть рассчитана по следующей формуле прямого счета:
, (6.1)
где FVA – наращенная сумма потока платежей;
Rt – размер члена ренты, т.е.размер очередного платежа по ренте;
i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;
n – срок реализации ренты в годах;
nt – сроки платежей по ренте.
Современная (текущая) стоимость потока платежей (капитализированная или приведенная стоимость) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов, может быть рассчитана по следующей формуле прямого счета:
(6.2)
где PVA – современная стоимость потока платежей.
Методом прямого счета можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты, но удобнее для расчета использовать компактные формулы, приведенные в приложении Д. Приведем вывод формул для годовых рент постнумерандо.
Наращенная сумма годовой ренты постнумерандо. Пусть в течении n лет в конце каждого года в банк вносится по R грн. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. Таким образом, есть рента, член которой R, а срок n. Все члены ренты, кроме последнего приносят проценты – на первый член проценты начисляются (n-1) год, на второй – (n-2) и т.д. Наращенная к концу каждого взноса сумма составит:
R*(1+i)n-1, R*(1+i)n-2 ,……, R*(1+i), R
Если полученный ряд переписать в обратном порядке, получим геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i), первым членом R и числом членов прогрессииn. Наращенная сумма ренты равна сумме членов этой прогрессии:
(6.3)
где FVIFAn.i – коэффициент наращения ренты, значения которого зависят от ставки процентов и срока ренты и рассчитывается по формуле:
Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо. Член ренты R, срок ренты – n, ежегодное дисконтирование. Дисконтированные величины платежей образуют последовательность:
R*(1+i)-1, R*(1+i)-2,……R*(1+i)-n
Полученная последовательность представляет геометрическую прогрессию с первым членом R*(1+i)-1, знаменателем (1+i)-1 ичислом членов n:
(6.5)
где PVIFAn,I – коэффициент приведения ренты, значения которых приведены в приложении Ж
Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид
Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид
Отметим, что числитель в последней формуле отрицателен (подлогарифмическое выражение меньше 1), так что знак «минус» перед формулой возвращает положительное значение n.
В отличие от R и n расчет процентной ставки i не удается провести в виде вычисления по готовой формуле. Величину процентной ставки определяют одним из методов приближенных вычислений (например, методом линейной интерполяции — методом хорд или методом Ньютона — методом касательных).
Рента пренумерандо при приведении к концу срока отличается от ренты постнумерандо сдвигом на один период времени от конца назад. Поэтому все ее члены при приведении следует дополнительно умножить на одну и ту же величину (1 + i). В результате формула наращенной суммы ренты пренумерандо примет вид
Аналогично изменится и формула современной стоимости ренты:
