стр 74
производственная функция Кобба-Дугласа (ниже)
вычисление экономической прибыли
https://nauchforum.ru/studconf/social/vii/2090
Потребительские издержки
http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200101301
В моделировании экономических процессов роль интеграла рассматривается не так часто, но, не смотря на это интегральное исчисление, для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике дает богатый математический аппарат. Вычисление площадей различных фигур, нахождение объемов геометрических тел и некоторые приложения в физике и технике иллюстрируются приложением интеграла. Рассмотрим применение интегрального исчисления в экономике и приложения интегралов на примерах нахождения потребительского излишка. В рыночной экономике широко используется это понятие
Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса Pi = f(Qi) (i = 1, 2, ..., k) показывает, какую сумму потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры B соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Q* единиц товара. Разность между площадью фигуры B и площадью прямоугольника A есть потребительский излишек при покупке данного товара – превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение (площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7).Таким образом, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле
Подобно излишку потребителя определяется и излишек производителя (PS–producer surplus). Не вдаваясь в детали, отметим, что излишек производителя представляет собой разницу между той денежной суммой, за которую он был бы готов продать Q* единиц товара, и той суммой, которую он реально получает при продаже этого количества товара. Графически он может быть представлен площадью фигуры, ограниченной кривой предложения, осью цен и прямой, параллельной оси абсцисс, проходящей через точку рыночного равновесия (рис. 8).
Очевидно, что (2)
Интегральный метод экономического анализа
Одним из таких способов (методов) является интегральный. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.
В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода этот прирост делится поровну между всеми факторами.
Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими элементами.
Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.
В процессе применения интегрального метода необходимо соблюдение нескольких условий. Во-первых, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Ге . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов
dy / dx = const
При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.
Если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:
Z=xy;
ΔZ(x) = y0 *Δx + 1/2Δx *Δy
Z(y)=x0 * Δy +1/2Δx * Δy
При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:
Z=x /y;
ΔZ(x) = Δx/Δy Ln y1/y0
ΔZ(y)=ΔZ - ΔZ(x)
Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К этому типу задач относятся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.
Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.
Изучение экономического смысла производной показывает, что производная выступает в качестве скорости изменения некоторого экономического объекта или процесса во времени или относительно другого исследуемого фактора. Чтобы установить экономический смысл определенного интеграла, необходимо эту скорость рассмотреть в виде функции от времени или другого фактора, например как функцию производительности труда. Тогда, определенный интеграл будет выражать объем произведенной продукции за конкретный промежуток времени [5]: , где f(t) - производительность труда в момент времени t, [O,T] - промежуток времени.
В качестве примера наиболее известной производственной функции можно рассмотреть функцию Кобба-Дугласа: , где A, α, β - неотрицательные константы и α + β ≤ 1, К - объем производственных фондов, L - объем трудовых ресурсов, Q - объем выпуска продукции. Если полагать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то функции Кобба-Дугласа принимает вид В этом случае объем выпускаемой продукции за время T лет составит: Представляется интересным в контексте настоящей статьи рассмотреть экономическое приложение определенного интеграла для вычисления дисконтированной стоимости денежных потоков [2]. Известно, что дисконтированием называют определение современной стоимости будущего платежа. Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f(t).
