https://earthz.ru/science/Slozhnaja-i-obratnaja-funkcija
Понятие сложной функции, или функции от функции, определяется следующим образом. Пусть u=ϕ(x) — некоторая функция от x; рассмотрим другую функцию y=f(u) такую, чтобы ее область определения совпадала или хотя бы имела общую часть с областью значений функции u=ϕ(x). Тогда можно рассматривать y=f(u)=f(ϕ(x)) как функцию от x: задание x определяет u=ϕ(x), а значение u, если оно попадет в область определения функции y=f(u), определит y. Таким образом, в конечном счете заданием x определяется значение y, т. е. y становится функцией x. Заданная таким способом функция
y=f(u)=f(ϕ(x))=F(x)
называется сложной функцией от x (заданной через посредство промежуточного аргумента u).
Схематически сущность понятия сложной функции поясняется рис.1 
рис.1
Обратная функция 
рис.2
Рассмотрим функцию y=f(x), областью определения которой служит, например, сегмент [a,b] (рис.2), а областью изменения — сегмент [c,d]. Функция y=f(x) ставит каждой точке сегмента [a,b] в соответствие некоторую точку сегмента [c,d]. Для изображенной на рис. функции (благодаря тому, что она монотонна) можно установить и обратное соответствие: каждому значению y0 из сегмента [c,d] соответствует единственное значение x0 из сегмента [a,b] такое, что y0=f(x0). Тем самым x можно рассматривать как функцию от y с областью определения [c,d] и областью изменения [a,b]. Функцию x=g(y) назовем обратной по отношению к функции y=f(x) (можно эти две функции назвать взаимно обратными).
При схематическом изображении взаимно обратные функции f и g представятся стрелками, как показано на рис. 3. При этом, однако, существенно, чтобы данному y могло отвечать лишь одно значение x такое, что y=f(x), тогда мы и пишем: x=g(y). Записи y=f(x) и x=g(y) имеют здесь равнозначный смысл: x=g(y) в том и только в том случае, если y=f(x).
рис.3
Поэтому пары чисел (x,y), определяемые любым из двух соотношений y=f(x) и x=g(y), будут одними и теми же. Это означает, что графики функций y=f(x) и x=g(y) совпадают. Первая из этих функций имеет своим аргументом переменную x, изменяющуюся на сегменте [a,b], вторая — переменную y с областью изменения аргумента [c,d]. Следует заметить, что во втором случае мы значения аргумента изображаем на оси ординат, а значения функции — на оси абсцисс. Такое изображение является непривычным и потому менее удобным. Представим себе, что произойдет, если теперь и для обратной функции x=g(y) мы станем значения аргумента обозначать через x и изображать на оси Ox, а значения функции будем обозначать через y и изображать на оси ординат (напомним, что мы условились обозначать для разных функций разными буквами законы соответствия, символизируемые здесь буквами f и g; зависимые же и независимые переменные для разных функций допустимо обозначать одинаково). При таком изменении обозначений запись обратной по отношению к y=f(x) функции будет уже иметь вид y=g(x).
рис.4
Теперь график функции y=g(x) будет получаться из графика y=f(x) (или x=g(y)) с помощью преобразования зеркальной симметрии относительно биссектрисы первого — третьего координатных углов (рис. 4). В самом деле, пусть точка (x0,y0) лежит на графике данной функции; тогда точка (y0,x0) с переставленными координатами должна лежать на графике обратной функции. Но такие две точки расположены симметрично относительно указанной биссектрисы, а отсюда и следует наше утверждение: графики двух взаимно обратных функций расположены симметрично относительно биссектрисы I — III координатных углов.
Внесем некоторые уточнения в понятие обратной функции. Мы начали рассматривать вопрос об обратной функции на примере функции, заданной графиком на рис. 2. Эта функция монотонна всюду в области определения. Именно этим обусловлен тот факт, что каждой точке y0 из сегмента [c,d] функция x=g(y) ставит в соответствие только одну точку x0 из сегмента [a,b]. Но для функции, не являющейся монотонной, это может не выполняться. В самом деле, на рис. 5 на сегменте [a,b] показан график немонотонной функции y=f(x). По этой причине имеются значения y, которым соответствует не единственная точка сегмента [a,b]; так, точке y0 отвечают три точки x0,x1,x2 такие, что y0=f(x0),y0=f(x1),y0=f(x2). В силу этого функция y=f(x), рассматриваемая на сегменте [a,b], не имеет обратной функции, если, конечно, не обобщать понятие функции, вводя «многозначные функции». Если наряду с функцией f(x), определенной на сегменте [a,b], рассматривать функцию, определенную только на интервале монотонности функции f(x) (например, [a,c],[c,d] или [d,b]) и совпадающую с f(x) на этом интервале, то у этой новой функции уже будет существовать обратная функция. 
рис.5
