стр 14
Функции одной переменной.
Пусть Х и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x ∈ Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у ∈ Y. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество Х — областью определения (существования) функции, множество Y — областью значений (изменения) функции.
Кроме буквы f для обозначения функции используются и другие буквы, другими буквами может обозначаться также и независимая переменная. Примеры записи функций: у = у (x), y = F(x), y = g(x).
Если множество Y значений функции ограничено, то функция называется ограниченной, в противном случае — неограниченной.
Способы задания функций
Задать функцию — значит указать закон, по которому, согласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие (вычисляется) значение зависимой переменной из области значений функции. Существуют три основных способа задания функций: табличный, аналитический и графический.
1. Табличный способ. Этот способ имеет широкое применение в разных отраслях знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т.п. Как правило, в таких таблицах по крайней мере одну из переменных можно принять за независимую (например, время), тогда другие величины будут являться функциями от этого аргумента. По сути дела базы данных основаны на табличном способе задания, хранения и обработки информации, а значит, и на табличной форме функциональной зависимости.
2. Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формул. Следует подчеркнуть, что функция может определяться и набором формул — на разных промежутках области определения функции используются разные формулы.
Предел функции.
стр 18
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если для всякой последовательности (xn) значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности (f(xn)) имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предел функции по Гейне
Определение 2. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < ε, значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε.
Это определение называют определением предел функции по Коши.
Определения 1 и 2 равносильны.
Если функция f(x) при x → a имеет предел, равный А, это записывается в виде
Непрерывность функции.
стр 24
Определение непрерывности по Гейне
Говорят, что функция действительного переменного f(x) является непрерывной в точке a∈R (R−множество действительных чисел), если для любой последовательности (xn), такой, что lim n→∞ xn = a, выполняется соотношение lim n→∞ f(xn) =f(a). На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f(x) в точке x=a (которые должны выполняться одновременно):
- Функция f(x) определена в точке x=a;
- Предел lim x→a f(x) существует;
- Выполняется равенство lim x→a f(x)=f(a).
Определение непрерывности по Коши (нотация ε−δ)
Рассмотрим функцию f(x), которая отображает множество действительных чисел R на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f(x) является непрерывной в точке a∈R, если для любого числа ε>0 существует число δ>0, такое, что для всех x∈R, удовлетворяющих соотношению|x−a|<δ, выполняется неравенство|f(x)−f(a)|<ε.
Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции
Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x=a, если справедливо равенство
lim Δx→0 Δy =lim Δx→0 [f(a+Δx)−f(a)]=0, где Δx=x−a.
Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.
Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Непрерывность элементарных функций
Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.
Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций.
