Основы математического анализа.
Математи́ческий ана́лиз (классический математический анализ) — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное[⇨] и интегральное[⇨] исчисления.
На классическом математическом анализе основывается современный анализ, который рассматривается как одно из трёх основных направлений математики (наряду с алгеброй и геометрией). При этом термин «математический анализ» в классическом понимании используется, в основном, в учебных программах и материалах[1]. В англо-американской традиции классическому математическому анализу соответствуют программы курсов с наименованием «исчисление» (англ. Calculus).
Множества и операции над ними.
стр 4
https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0
http://www.novsu.ru/file/672233
Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.
Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.
Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.
Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.
Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит).
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:
§ А = (1,2,3,5,7) — множество чисел
§ Х = (x1, x2, ..., xn) — множество некоторых элементов x1, x2,..., xn
§ N = (1, 2, ..., n) — множество натуральных чисел
§ Z = (0, ±1, ±2, ..., ±n) — множество целых чисел
Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой и δ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.
Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.
Основные числовые множества
|
N |
(1,2,3,...,n) Множество всех натуральных чисел |
|
Z |
(0, ±1, ±2, ±3,... ) Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных. |
|
Q |
Множество рациональных чисел. Кроме целых чисел имеются ещё и дроби. Дробь — это выражение вида p/q, где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде p/q. Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде p/q. Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = 2/1. Таким образом любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической. |
|
R |
Множество всех вещественных чисел. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся:
Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел. |
Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается Ø.
Операции над множествами
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) то А=В.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А=(1,2,4), B=(3,4,5,6), то А ∪ B = (1,2,3,4,5,6)
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А=(1,2,4), B=(3,4,5,2), то А ∩ В = (2,4)
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А=(1,2,3,4), B=(3,4,5), то АВ = (1,2)
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), то А Δ В = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2,5,6)
Свойства операций над множествами
Свойства перестановочности
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Сочетательное свойство
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
