Сбалансированная траектория развития экономики в линейной модели с продуктивной матрицей коэффициентов прямых материальных затрат.

стр 15

Для того чтобы линейная модель МОБ имела неотрицательное решение при любом ненулевом Y≥0 необходимо и достаточно, чтобы матрица прямых затрат A была продуктивной. Для продуктивной матрицы решение системы (1) единственное.

B = (E - A)-1

Критерии проверки продуктивности матрицы A.

Первый критерий продуктивности. A – продуктивна тогда и только, когда существует B и B ≥ 0. Это означает, что матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица обратная матрица (Е - А)-1 существует и ее элементы неотрицательны.
A ≥ 0 – продуктивна тогда и только, когда B имеет nположительных главных миноров.

Достаточные признаки продуктивности матрицы (Второй критерий продуктивности.):

Сумма элементов в каждой строке меньше единицы.
Сумма элементов в каждом столбце меньше единицы.

Причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Свойства (2) и (3) матрицы А играют ключевую роль в доказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что при любом неотрицательном Y система

X - AX = Y или (E - A) X = Y,

имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)-1Y. Матрицу (Е-А)-1 обозначают через В и называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэффициент bij этой матрицы показывает, каким должен быть валовой выпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечить производство единицы конечного продукта j-й отрасли. Используя матрицу В, можем записать

Х = ВY

или в развернутом виде

Преимущество такой формы записи балансовой модели состоит в том, что, вычислив матрицу В лишь однажды, мы можем многократно использовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением В на Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решать систему линейных уравнений.

Обратную матрицу В можно вычислить, используя метод обращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В=Е+А+А2+...+Аk+... (4)

Число членов ряда, необходимое для получения достаточно точного приближения, зависит от матрицы А, но в любом случае приемлемый результат достигается при k³ 30.