Мультипликатор Леонтьева (матрица коэффициентов полных материальных затрат).

стр 238

С учетом формулы (6.4) систему уравнений баланса (6.2) можно переписать в виде

X, =]Га !.Ху+У( ; * = 1Я (6.5)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов пря мых материальных затрат А = (a индекс ij), вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

то система уравнений (6.5) в матричной форме примет вид

X=AX + Y. (6.6)

Система уравнений (6.5), или в матричной форме (6.6), называется экономико-математической моделью межотрас левого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты— выпуск»). С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объемы конечной про дукции каждой отрасли (Уi):

Y = (E -A)X. (6.7)

• Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yj), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X = (Е - А)^-1 Y . (6.8)

• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (6.6), а системой линейных уравнений (6.5).

Матричный мультипликатор [matrix multiplier] — то же, что матрица коэффициентов полных затрат в модели межотраслевого баланса, получаемая путем ее решения относительно X . Эту матрицу называют мультипликатором, поскольку она показывает эффект распространения спроса, первоначальным источником которого выступает спрос на конечную продукцию. Записанную в матричной форме систему уравнений МОБ, так называемое уравнение Леонтьева

X = AX + Y,

можно преобразовать в следующее:

(I — A) X = Y,

где I — единичная матрица n х n.

Это уравнение может быть разрешено относительно X, т.е. валовогопродукта, необходимого для производства заданного вектора конечного продукта (при условии, что матрица (I — A) невырожденная (см. Вырожденная матрица):

X = (I — A)-1 Y.

(Знак (-1) здесь обозначает обращение матрицы).

Множитель (I-A)-1 показывает, что изменение конечного продукта на ΔY вызывает соответствующее изменение валового продукта:

DX = (I-A)-1 ´ ΔY.

Особенности модели Леонтьева:

– рассматривается экономика, в которой каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;

– взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными уравнениями (линейная и постоянная технологии);

– вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;

– вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм;

– равновесие понимается как строгое равенство спроса и предложения.

Основу информационного обеспечения балансовых моделей в экономике составляет матрица коэффициентов затрат ресур сов по конкретным направлениям их использования. Напри мер, в модели межотраслевого баланса такую роль играет так называемая технологическая матрица — таблица меж отраслевого баланса, составленная из коэффициентов (нор мативов) прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении. По многим причинам исходные данные реальных хозяйственных объектов не могут быть ис пользованы в балансовых моделях непосредственно, поэтому подготовка информации для ввода в модель является весьма серьезной проблемой. Так, при построении модели межот раслевого баланса используется специфическое понятие чис- Балансовые модели 233 той (или технологической) отрасли, т.е. условной отрасли, объединяющей все производство данного продукта незави симо от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм. Переход от хозяй ственных отраслей к чистым отраслям требует специального преобразования реальных данных хозяйственных объектов, например, агрегирования отраслей, исключения внутриотрас левого оборота и др. В этих условиях понятия «межпродук товый баланс» и «межотраслевой баланс» практически иден тичны, отличие заключается лишь в единицах измерения эле ментов баланса. Как отмечено выше, балансовые модели строятся в виде числовых матриц — прямоугольных таблиц чисел. В связи с этим балансовые модели относятся к тому типу экономи ко-математических моделей, которые называются матрич ными. В матричных моделях балансовый метод получает строгое математическое выражение. Таким образом, мат ричную структуру имеют межотраслевой и межрайонный баланс производства и распределения продукции в народном хозяйстве, модели развития отраслей, межотраслевые балансы производства и распределения продукции отдельных регионов, модели промфинпланов предприятий и фирм. Несмотря на специфику этих моделей, их объединяет не только общий формальный (матричный) принцип построения и единство системы расчетов, но и аналогичность ряда экономических характеристик. Это позволяет рассматривать структуру, со держание и основные зависимости матричных моделей на примере одной из них, а именно на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве. Данный баланс отражает производство и распре деление общественного продукта в отраслевом разрезе, меж отраслевые производственные связи, использование материаль ных и трудовых ресурсов, создание и распределение нацио нального дохода.