При анализе и синтезе дискретных и цифровых цепей широко применяют так называемое z-преобразование. Это преобразование играет такую же основополагающую роль по отношению к дискретным сигналам, как преобразование Лапласа по отношению к аналоговым сигналам.
Z-преобразование дискретного сигнала. Заменим в уравнении (19.8) jw на комплексную переменную p:
(19.24)
таким образом, мы получим изображение по Лапласу дискретного сигнала. Оригинал, т. е. сам дискретный сигнал можно определить с помощью обратного преобразования Лапласа (7.4):
(19.25)
Уравнение (19.25) определяет всю дискретную последовательность 
. Для определения одного, k-го отсчета формула (19.25) примет вид
(19.26)
Следует однако отметить, что XT(p) является трансцендентной функцией переменной р вследствие наличия в (19.24) и (19.26) множителя e±pkT.
Для перехода к рациональным функциям осуществим замену переменных:
(19.27)
Тогда формула (19.24) примет вид:
(19.28)
Равенство (19.28) называют прямым односторонним z-преобразованием.
Обратное z-преобразование определяется формулой:
(19.29)
где интегрирование осуществляется по окружности с радиусом |z| = 1.
Доказать справедливость (19.29) можно следующим образом. Пусть X(z) – функция комплексной переменной z, аналитическая в области |z| > r0. Раскроем ряд (19.28):
(19.30)
Домножим левую и правую часть (19.30) на zk–1:
(19.31)
Возьмем контурный интеграл от левой и правой части (19.31) вдоль кривой, лежащей целиком в области аналитичности и охватывающей все полюсы X(z) и учтем равенство Коши:
Тогда все слагаемые, кроме k-го обратятся в нуль:
Отсюда непосредственно следует (19.29), что и требовалось доказать.
Установим связь между точками на комплексной плоскости p = = a + jw и z-плоскости z = x + jy (рис. 19.16).
Если положить a = 0, то мы будем перемещаться по оси jw в плоскости р. При переходе в z-плоскость точки мнимой оси jw будут располагаться на единичной окружности z = ejwT. Причем, точка j0 на р-плоскости переходит в точку z = +1 на вещественной оси z-плоскости, а точки 
– в точку z = –1. Это означает, что точки отрезка (
) р-плоскости проектируются в точки на единичной окружности z-плоскости. Так как функция e±jwT периодическая, то последующие отрезки оси jw на p-плоскости такой же длины будут вновь проектироваться на единичную окружность.
Точкам левой р-полуплоскости соответствуют точки внутри единичной окружности z-плоскости, а точкам правой p-полуплоскости – точки вне этой окружности.
Пример. Рассчитаем z-преобразование дискретного сигнала x(k), имеющего вид
Воспользовавшись формулой (19.28), получим
.
Пример. Найдем z-преобразование X(z) дискретного экспоненциального сигнала x(k) = e–akT.
Подставим значение x(k) в формулу (19.28), получим
.
Из теории рядов следует, что при выполнении условия |e–aT×z–1| < 1 сумма ряда X(z) равна 1/(1 – e–aT×z–1) или
.
Z-преобразование X(z) дискретного сигнала x(n) определено только для области z, в которой степенной ряд (19.28) сходится. Эта область сходимости включает в себя все значения z, находящиеся вне некоторого круга на комплексной z-плоскости, радиус которого 
называется радиусом сходимости (рис. 19.17), т. е. при r0 < |z| < ¥ ряд сходится. В области сходимости существует взаимно однозначное соответствие между X(z) и x(k), т. е. каждому x(k) соответствует одно и только одно X(z), определенное для |z| > r0 и наоборот.
Пример. Определим радиус сходимости для z-преобразования сигнала, заданного в предыдущем примере.
Как уже было установлено, z-преобразование сигнала x(k) = e–akT имеет вид
.
Нуль функции X(z) будет в точке z0 = 0, полюс – в точке zk = e–aT. Следовательно, радиус сходимости r0 = e–aT, а функция X(z) сходится при |z| > e–aT.
Окружность, имеющая радиус сходимости r0 = e–aT, приведена на рис. 19.16. Область сходимости находится за пределами этой окружности.
Пример. Найдем z-преобразование сигнала x(k) = Aak, k 
0. Этот дискретный сигнал показан на рис. 19.18 для трех различных значений a: а = 0,8; а = 1; а = –0,8.
В соответствии с (19.28) z-преобразование такого дискретного сигнала равно
. (19.32)
Из математики известно, что этот ряд сходится к функции
, (19.33)
если |az–1| < 1 или |z| > a.
Функция X(z) имеет нуль при z = 0, а ее полюс zn = a лежит на окружности радиусом R0 = a, ограничивающей область сходимости.
На рис. 19.18 показано расположение нуля и полюса функции X(z) в z-плоскости при различных а.
Нахождение дискретного сигнала по его z-изображению. Для этого можно воспользоваться обратным z-преобразованием (19.29).
Другой способ заключается в том, чтобы разложить функцию X(z) в степенной ряд по степеням z–1. Тогда коэффициенты при степенях z–1 будут, в соответствии с формулой (19.28), отсчетами дискретного сигнала x(k).
Пример. Найдем дискретный сигнал x(k), которому соответствует z-преобразование X(z) = 1/(1 – 0,5z–1).
Воспользуемся разложением функции (1 – q)–1 в ряд: 1 + q + q2 + q3 + ....
Для заданного z-преобразования q = 0,5z–1, поэтому запишем z-преобразование в виде
.
Сравнивая полученное выражение с общей формулой z-преобразования
, получим последовательность
x
