спектр сигнала. ряд фурье

Спектр сигнала — в радиотехнике это результат разложения сигнала на более простые в базисе ортогональных функций. В качестве разложения обычно используются преобразование Фурье.Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываютсядифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причём для линейных цепей верен принцип суперпозиции: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.

Ряд Фурье — представление произвольной функции $f$ с периодом $\tau$ в виде ряда

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\cos\left(2\pi \frac{k}{\tau}x+\theta_k\right)$

Этот ряд может быть также записан в виде

$f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{i2\pi \frac{k}{\tau}x},$

где

$A_k$ — амплитуда $k$ -го гармонического колебания,

$2\pi \frac{k}{\tau} = k\omega$ — круговая частота гармонического колебания,

$\theta_k$ — начальная фаза $k$ -го колебания,

$\hat{f}_k$ — $k$ -я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису.

Тригонометрическим рядом Фурье функции $f\in L_2([-\pi,\pi])$ называют функциональный ряд вида

$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

(1)

где

$a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,$

$a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,$

$b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,$

Числа $a_0$ , $a_n$ и $b_n$ ( $n = 1, 2, \ldots$ ) называются коэффициентами Фурье функции $f$ . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию $f\in L_2([0,2\pi])$ в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты $a_0$ , $a_n$ и $b_n$ . Если умножить правую часть (1) на $\cos(kx)$ и проинтегрировать по промежутку $[-\pi,\pi]$ , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент $a_k$ . Аналогично для $b_k$

Ряд (1) сходится к функции $f$ в пространстве $L_2([-\pi,\pi])$ . Иными словами, если обозначить через $S_k(x)$ частичные суммы ряда (1):

$S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ ,

то их среднеквадратичное отклонение от функции $f$ будет стремиться к нулю:

$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0$ .

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ комплекснозначных функций со скалярным произведением

$\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx$ .

Мы также рассматриваем систему функций

$\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}$ .

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ может быть разложена по ним в ряд Фурье:

$f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}$ ,

где ряд в правой части сходится к $f$ по норме в $f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ . Здесь

$\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx$ .

Коэффициенты : $\hat{f}_k$ связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

$\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0$

$\hat{f}_0 = a_0/2$

$\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0$

$a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0$

$b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0$

Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения $\hat{f}_k$ и $\hat{f}_{-k}$ не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.