Теорема (формула) разложения служит для определения оригинала по известному дробному рациональному изображению. Дробными рациональными называются функции в виде отношения двух полиномов:
(3.20)
где p – комплексная переменная; A(p) – полином числителя степени m; B(p) – полином знаменателя степени n; ai и bi – вещественные коэффициенты.
Именно в дробных рациональных функциях выражаются операторные токи и напряжения.
Будем предполагать, что степень полинома знаменателя (3.20) больше степени полинома числителя, т.е. n > m, и что полином знаменателя B(p) имеет только простые корни pk, т.е. среди корней нет кратных (одинаковых). При этих предположениях, как известно из курса линейной алгебры, F(p) может быть представлена в виде суммы простых дробей:
(3.21)
где Dk 
– коэффициенты разложения. Тогда для (3.21) можно записать оригинал, используя табличный переход (см. таблицу 3.1, соответствие 3):
(3.22)
Значения коэффициентов Dk можно получить различными способами. Наиболее удобный для данного случая следующий. Умножим обе части (3.21) на множитель (p–pk) и положим 
. Тогда в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного, где останется искомый коэффициент
В полученном соотношении возникает неопределенность, т.к. при 
множитель (p–pk) и знаменатель B(p) одновременно стремятся к нулю (напомним, что pk – корень полинома B(p)). Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, находим
.
Подставляя полученный результат в (3.22), окончательно запишем формулу разложения:
,
(3.23)
где A(p) и B(p) – полиномы числителя и знаменателя исходного изображения F(p); n и pk – степень и корни полинома знаменателя B(p).
Пример 1. Дано изображение напряжения 
.
Определить оригинал (реальное напряжение) по формуле разложения.
Определяем корни полинома знаменателя B(p):
Коэффициенты: 
, 
Реальное напряжение 
.
Пример 2. Перейти от операторного тока 
к оригиналу по формуле разложения.
Корни знаменателя: 
.
Коэффициенты: 
; 
.
Оригинал:
Сравнивая результаты, полученные в примерах 1 и 2, можно сделать вывод, что вещественным корням знаменателя изображения соответствуют апериодические составляющие переходного процесса, а комплексным – колебательные составляющие.
