Определение 1. Пусть функция 
определена в окрестности точки 
, тогда функция непрерывна в , если 
.
Определение 2. Функция непрерывна, если
.
Определение 3. Функция непрерывна в точке , если 
.Приращение аргумента 
. Приращение функции 
.
Определение 4. Функция непрерывна в точке , если 
. Если функция не является непрерывной в точке , то эта точка – точка разрыва. Если функция непрерывна на отрезке (a, b), то функция неразрывна на отрезке (a, b).
Определение 5. Функция непрерывна в точке справа, если 
.
Определение 6. Функция непрерывна в точке слева, если 
.
Функция непрерывна на отрезке 
, если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонне непрерывна на его концах.
{Теоремы о непрерывных функциях.}
Теорема 1. Сумма, произведение и частное непрерывных функций – непрерывны (кроме случая, когда знаменатель обращается в нуль).
Доказательство:
Пусть 
и 
.
Тогда 
.
Доказательство для умножения и деления аналогично доказательству для сложения.
Теорема 2. Композиция непрерывных функций непрерывна:
Функция 
непрерывна в точке , если g(x) непрерывна в точке и f(y)непрерывна в 
.
Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.
Разрывы функции.
Разрыв первого рода.
Пусть 
и 
существуют:
I. Если 
, то в точке функция испытывает разрыв скачок первого рода.
Примеры:
– целая часть числа x. – дробная часть от числа x. Теорема 3. Если функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка, в которой . Или . II. Если , то в точке функция испытывает устранимый разрыв первого рода. Примеры: 1) 2) 3) 4) Разрыв второго рода. Функция испытывает разрыв второго рода, если – не существует. Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке. Пусть функция непрерывна на замкнутом отрезке . Теорема 1. Функция принимает наибольшее и наименьшее значение на. Или , где . Теорема 2. Функция принимает все свои промежуточные значения на . Или , где – область значений.
