. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ

Число b называется пределом функции в точке а, если для любой  – окрестности точки b существует  – окрестность точки а.

      

 – предел функции при , равный b.

Число b называется пределом функции при неограниченном возрастании аргумента . Для любого существует такое N, и если , то .

Примеры:

y = f(x) = 

y = f(x) = x²

1.  
2.  

Пример:

y =, когда , 

Неопределенности: 

Раскрытие неопределенностей.

Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

Если функция f(x) имеет предел в точке a ,то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.

Доказательство:

Пусть , тогда , отсюда получаем . Обратное неверно.

Контрольный пример:

 в окрестности точки 0.

 – не существует.

(Бесконечно малой величиной} при  называется функция, предел которой в точке a равен 0.

  – бесконечно малая величина (б.м.в.).

 

 

1.  – бесконечно малая величина при 
2.  – бесконечно малая величина при  s

{Бесконечно большой величиной} при  называется функция неограниченно возрастающая.

  – бесконечно большая величина (б.б.в.)

Любая бесконечно большая величина неограниченна.

Теорема о связи предела и бесконечно малой величины.

Если , то , где  – бесконечно малая величина. Или .

Доказательство:

Допустим, что , тогда .

, значит ,  – бесконечно малая величина.

Пример:

f(x) = x² + 1

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной.

Если  – бесконечно малая величина при     – бесконечно большая величина.

Если – бесконечно большая величина при   – бесконечно малая величина.

Доказательство:

Допустим, что  – бесконечно малая величина при , то , что . Значит 

Следствие:  и 

{Свойства бесконечно малых величин:}

1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая: 

Доказательство:

 или , значит  – бесконечно малая величина.

2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая: , где f(x) – ограниченная.

Доказательство:

, значит  – бесконечно малая величина.

3) Частное от деления бесконечно малой величины на любую функцию, предел которой не равен 0, есть бесконечно малая:  при  и .

{Теоремы о пределах.}

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют: 

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем 

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют: 

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем  

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При условии: все пределы существуют и .

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

 ;

Получаем: 

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

Доказательство:

Следовательно, 

Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел: 

Теорема 6. Критерий Коши.

Если , тогда и только тогда .

{Приемы раскрытия неопределенностей.}

1) Выделение общего множителя (для неопределенности ).

Пример:

2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).

Пример:

3) Выделение главной части (для неопределенности ).

Примеры:

 ; 

Теорема. Первый замечательный предел .

Доказательство (геометрическое):

 

Так как , то .

Следствия из теоремы:

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

{Теорема. Второй замечательный предел .}

Доказательство:

Бином Ньютона:

, где .

Используем бином Ньютона для доказательства неравенства: 

Отсюда заключаем, что , а значит .

Следствия из теоремы:

1) 

2) 

3) 

4) 

Доказательство:

Если принять, что , то 

Примеры:

1) 

Учитывая, что .

2) 

. Отсюда A = e.

Учитывая, что .

{Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.):}

Пусть  – бесконечно малые величины при , т.е. .

Определение 1. Если , то  – б.м.в. одного порядка малости.

Определение 2. Если , то  – б.м.в. более высокого порядка, чем .

 –  более высокого порядка, чем  ("о" – читается как "о малое").

 –  более низкого порядка, чем  ("О" – читается как "О большое").

Определение 3. Если , то  и  эквивалентны – .

Следствие из определения 3:  при .

Теорема. Если  и  эквивалентны () , то  и .

Доказательство:

Пусть  – бесконечно малые величины при  и они эквивалентны ().

Тогда .