1.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (КЧ)

Комплексным числом z называется выражение z = a+bi, где , i – мнимая единица. i ² = –1.

a – действительная часть КЧ или a = Re z.

b – мнимая часть КЧ или b = Im z.

 

0+bi = bi - чисто мнимое число

a + 0i = a - действительное число

0 + 1i = i	1 + 0i = 1	0 + 0i = 0
мнимая единица	обычная единица	обычный нуль

Z₁ = a₁ + b₁i

Z₂ = a₂ + b₂i

{Действия над КЧ.}

Z₁ Z₂ = (a₁  a₂) + (b₁  b₂)i – сложение/вычитание КЧ.

Возведение в степень мнимой единицы:

i¹ = i i² = – 1 i³ = i i⁴ = 1

Z₁  Z₂ = (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i) = a₁a₂ + a₁b₂i + a₂b₁i + b₁b₂i² =

= (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i – произведение КЧ.

Сопряженным числом () для данного комплексного числа называется число, которое отличается только знаком мнимой части от данного числа.

Пример: 

   – деление КЧ.

Пример:

{Комплексная плоскость.}

Z = a + bi – алгебраическая форма записи КЧ.

Модуль КЧ.

Аргумент КЧ.

Аргумент КЧ – .

Полярная система координат

Декартова система.        Полярная система.

 – полярный радиус,  – полярный угол,  – полярные координаты.

 

; 

Пример:

 

 – тригонометрическая форма записи КЧ.

Примеры:

{Формула Эйлера.}

– Формула Эйлера

 

– взаимосвязь между e, i и

 – показательная форма КЧ.

КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.

{Возведение в степень КЧ.}

При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

{Формула Муавра.}

Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:

Используя равенство КЧ, получим: s

{Извлечение корня из КЧ.}

k = 0, 1…,n – 1.

Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.

Примеры:

 

 

 

 

1. 
2. 

Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на nравных частей.