21. Электрический потенциал.

Электростатический потенциа́л — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещённый в данную точку поля. Единицей измерения потенциала в Международной системе единиц (СИ) является вольт (русское обозначение: В; международное: V), 1 В = 1 Дж/Кл (подробнее о единицах измерения — см. ниже).

Электростатический потенциал — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики скалярный потенциал в частном случае электростатики (исторически электростатический потенциал появился первым, а скалярный потенциал электродинамики — его обобщение). Употребление термина электростатический потенциал определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто о потенциале без уточняющих прилагательных.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда:

{\displaystyle \varphi ={\frac {W_{p}}{q_{p}}}} $\varphi ={\frac {W_{p}}{q_{p}}}$

Напряжённость электростатического поля {\displaystyle \mathbf {E} } $\mathbf {E}$ и потенциал {\displaystyle \varphi } $\varphi$ связаны соотношением^[1]

{\displaystyle \int \limits _{A}^{B}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dl} =\varphi (A)-\varphi (B)} $\int \limits _{A}^{B}{\mathbf E}\cdot {\mathbf {dl}}=\varphi (A)-\varphi (B)$

или обратно^[2]:

{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi .} ${\mathbf E}=-\nabla \varphi .$

Здесь {\displaystyle \nabla } $\nabla$ — оператор набла, то есть в правой части равенства стоит минус градиент потенциала — вектор с компонентами, равными частным производным от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.

Воспользовавшись этим соотношением и теоремой Гаусса для напряжённости поля {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0}}} ${\mathbf \nabla }\cdot {\mathbf E}={\rho \over \varepsilon _{0}}$ , легко увидеть, что электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона в вакууме. В единицах системы СИ:

{\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}} ${\nabla }^{2}\varphi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}$

где {\displaystyle \varphi } $\varphi$ — электростатический потенциал (в вольтах), {\displaystyle \rho } $\rho$ — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а {\displaystyle \varepsilon _{0}} $\varepsilon _{0}$ — электрическая постоянная (в фарадах на метр).