Всякий класс эквивалентности, определяется любым своим представителем, поэтому можно говорить о натуральном числе, определенном любым множеством данного класса. Число, определенное множеством М обозначают n(M) и называют мощностью множества М. Пустое множество не определяет никакое число. Назовем нулем и обозначим символом 0-мощность пустого множества, т.е. 0=n(Ø).
Рассмотрим следующую последовательность множеств: Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}},… В этой последовательности никакие два множества не равномощны. Указанная последовательность множеств определит бесконечную последовательность чисел, попарно различных между собой: 0, 1, 2, 3,… Получившееся множество чисел называется множеством целых неотрицательных чисел и обозначают N0.
Определение: два целых неотрицательных числа называются равными, если определяющие их множества равномощны.
Отношение равенства на множестве N0 есть отношение эквивалентности.
Для того чтобы в этом убедится необходимо проверить выполнимость свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Рефлексивность: (∀а∈ N0) a = a.
Пусть а =n(A) так как множество А эквивалентно самому себе А~А, то n(A)= n(A), т.е. а = а.
Симметричность: (∀ a,b ∈ N0) a=b⇒b=a.
Пусть а =n(A) и b =n(B). Т.к. a = b, то A~B и отношение эквивалентности множеств
симметрично, поэтому B~A т.е. b = a.
Транзитивность: (∀ a,b, c ∈ N0) a=b∧b=a⇒a=c.
Пусть а =n(A), b =n(B), c =n(C). Тогда a = b ⇒ A~B ∧ b = c ⇒ B~C пользуясь тем что отношение эквивалентности множеств транзитивно получаем A~C ⇒ a = c.
Если множество B содержит подмножество В1 равномощное множеству А, то говорят, что число а =n(A) меньше числа b =n(B).(a<b⇔∃B1, B1≠B; B1~A)
Отношение меньше является антисимметричным и транзитивным
Антисимметричность: (∀ a,b ∈N0) a<b≠b<a.
Пусть а =n(A) и b =n(B). a<b, по определению это означает, что ∃B1 , B1≠B; B1~A, предположим, что a<b=b<a, тогда A1~B=B1~A, т.к. B1 подмножество B, получаем, что A⊂A1 и т.к. A1⊂A получаем A=A1, но это противоречит определению того, что b<a, следовательно, a<b≠b<a.
Транзитивность: (∀ a,b, c ∈ N0) (a < b ∧ b < c) ⇒ a < c.
Пусть а =n(A), b =n(B), c =n(C). Тогда A∼B1 ⊂B∼C1⇒A~C1 , следовательно a < c.
Таким образом, N0 упорядоченное множество.
