Этапы построения школьного курса геометрии как аксиоматической теории. Аксиомы геометрии.

Аксиоматическое построение любой научной теории выполняется по следующим этапам:

Перечисляются первоначальные понятия и отношения.
Формулируются аксиомы (т.е. первоначальные факты).
На основе первоначальных понятий и аксиом вводятся с помощью определений остальные понятия, изучаемые в данной теории.
Формулируются и доказываются теоремы.

Рассмотрим построение школьного курса геометрии как аксиоматической теории.

Этап 1. Введение первоначальных понятий и отношений

В школьной геометрии за основные (первоначальные) понятия принимаются понятия «точка», «прямая», «плоскость». Между ними устанавливаются следующие отношения: «принадлежать» (для точек и прямых), «лежать между» (для точек на прямой). Первоначальные понятия явно не определяются, вводятся путем показа и описываются системой аксиом.

Этап 2. Формулировка аксиом

Первоначальные понятия «точка», «прямая», «плоскость» определяются неявно посредством системы аксиом, т.е. системы высказываний, истинность которых принимается без доказательства (слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксисс» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений»).

В курсе геометрии рассматривается следующая система аксиом:

Аксиомы планиметрии
1. Аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости
1.1.	Аксиома принадлежности точек прямой	Какова бы не была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2.	Аксиома прямой	Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Аксиомы расположения точек на (относительно) прямой (на плоскости)
2.1.	Аксиома расположения точек на прямой	Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2.	Аксиома разбиения плоскости	Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
3. Аксиомы измерения отрезков и углов
3.1.	Аксиома измерения отрезков	Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2.	Аксиома измерения углов	Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
4. Аксиомы откладывания отрезков и углов
4.1.	Аксиома откладывания отрезка	На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
4.2.	Аксиома откладывания угла	От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
5. Аксиома существования треугольника, равного данному
5.1.	Аксиома существования треугольника, равного данному	Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
6. Аксиома параллельных прямых
6.1.	Аксиома параллельных прямых	На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельную данной.
Аксиомы стереометрии
1. Аксиомы принадлежности точек плоскости
1.1.	Аксиома принадлежности точек плоскости	Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
1.2.	Аксиомы плоскости	Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
1.3.	Аксиомы плоскости	Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
2. Аксиома принадлежности прямой плоскости
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
3. Аксиома пересечения плоскостей
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Этап 3. Введение остальных геометрических понятий

Кроме первоначальных в геометрии используются понятия, которые являются производными и определяются явно через указанные первоначальные понятия. Они называются определяемыми. Таковы, например, понятия отрезка, луча, угла и многих других. Приведем некоторые из них.

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками (их называют концами отрезка).

Многогранник – это геометрическая фигура, поверхность которой состоит только из многоугольников.

Этап 4. Формулировка и доказательство теорем

На завершающем этапе построения курса геометрии формулируются и доказываются свойства введенных ранее геометрических понятий.

Высказывания о свойстве той или иной геометрической фигуры, которые доказываются, называются теоремами, при этом используются аксиомы или определения и теоремы, ранее доказанные. Правильность утверждения теоремы устанавливается путем рассуждения - доказательства.

Наиболее известные теоремы школьного курса геометрии: теорема Пифагора, теорема косинусов и др.