31. Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение и его решение на примере идеального колебательного контура.

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями.

Например, в случае механических гармонических колебаний:

В этих формулах ω – частота колебания, xm – амплитуда колебания, φ0 и φ0’ – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ0’ = φ0 + π/2 полностью совпадают.

Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0  смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=хm, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0=0.

Выражение, стоящее под знаком cos или sin, наз. фазой колебания:  . Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.

Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).

Колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R.

 Согласно закону Ома:

Где IR –  напряжение на резисторе, – напряжение на конденсаторе,

    – э.д.с.  самоиндукции,    возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока  ( – единственная э.д.с. в контуре). Следовательно,

  Разделив данное выражение на L и подставив   и   , получим дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в контуре:

       В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания. Если сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре:

Тогда получается, что заряд Q совершает гармонические колебания по закону

       Где –  амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой  , называемой собственной частотой контура, т.е.

 И периодом

     Данная формула впервые была получена У.Томпсоном и называется формулой Томпсона.

Сила тока в колебательном контуре

    Где   – амплитуда силы тока.

Напряжение на конденсаторе

Где    – амплитуда напряжений.

Тогда получается, что колебания тока I опережают по фазе колебания заряда Q на  , т.е., когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение) обращается в нуль, и наоборот.