1. Сплайн-интерполяция. Преимущества такой интерполяции. Выбор кубического сплайна дефекта один. Геометрическая интерполяция.
А) Интерполяция, использующая сразу все n узлов таблицы (3.1), называется глобальной интерполяцией. Начиная с n ≥ 7 глобальная многочленная интерполяция становится неустойчивой в том смысле, что погрешности возрастают, так как записанный интерполяционный многочлен требует гладкости по производным 7-го и высших порядков (рис. 3.3).
Поэтому обычную многочленную интерполяцию осуществляют максимум по 3-4 узлам (для 3-х узлов 2-ой степени, 4-х узлов 3-й степени). Интерполяцию по нескольким узлам таблицы (3.1) называют локальной: линейной по каждым двум узлам с помощью интерполяционных многочленов L1(x) , квадратичной по каждым трем узлам с помощью интерполяционных многочленов L2(x), и так далее.
Однако такая локальная интерполяция с помощью Ln или Nn страдает тем недостатком, что интерполирующая функция в узлах стыковки многочлена имеет непрерывность только нулевого порядка, т. е. локальные интерполяционные многочлены принадлежат классу функций С0 (см. рис. 3.4 для L2, N2 в узле х*).
От этих недостатков свободна сплайн-интерполяция, которая требует непрерывности в узлах стыковки локальных многочленов по производным соответственно порядка один, два и т. д.
Определение. Сплайном степени m дефекта r называется ( m - r) раз непрерывно дифференцируемая функция, которая на каждом отрезке [xi-1, Xi], , представляет собой многочлен степени m.
Наиболее распространенными в науке и технике являются сплайны 3-й степени дефекта один, т. е.
т. е. дважды непрерывно дифференцируемый многочлен 3-й степени на каждом отрезке [xi-1, Xi], . Сплайны, удовлетворяющие условию интерполяции, называются интерполяционными.
Б) Основным достоинством интерполяционного кубического сплайна S ( х) дефекта один является следующее: этот сплайн обладает минимумом интегральной кривизны на всем заданном отрезке [а,b] по сравнению с другими интерполяционными функциями , т. е.
Геометрически это означает, что если тяжелую упругую нить повесить на ряд гвоздей, то она примет форму кубического сплайна дефекта 1, приведенную на рис. 3.5.
2. Исчисление конечных и разделенных разностей. Применение для оценок погрешностей.
А) Пусть дана сеточная функция (3.1) для функции f(x) или экспериментальная таблица (3.1). В вычислительной математике аналогом понятия дифференциала является понятие конечной разности, которое используется при построении методов теории приближений, в частности при построении интерполяционных многочленов.
В вычислительной математике аналогом понятия производной является понятие разделенной разности.
Б)