Методы отделения и уточнения корней, геометрический смысл, сходимость, погрешность методов: половинного деления, Ньютона, секущих, простых итераций. Постановка краевых задач для ОДУ. Конечно-разностный метод их решения с использованием метода прогонк

Рассмотрим уравнение вида

                                         f(x) =0, (2.40)
где f(x)-любая нелинейная или трансцендентная функция,например f (х) = exp(tg х) - х³sin х.

Для нахождения корней уравнения (2.40) различают следующие два этапа.

1. Отделение корней, т. е. нахождение таких интервалов по аргументу х, внутри каждого из которых существует только один корень уравнения (2.40).

2. Уточнение корней заключается в применении некоторого итерационного метода, в результате которого корень уравнения (2.40) может быть получен с любой наперед заданной точностью Ɛ. При этом, останавливая процесс на какой-либо конечной итерации, необходимо оценить погрешность по сравнению с точным корнем, который неизвестен.

А) Способы отделения корней. Наиболее употребимыми на практике способами отделения корней являются следующие.

1. Графический.

2. Метод половинного деления.

Б)Ниже рассматриваются следующие итерационные методы уточнения корней нелинейного уравнения (2.40).

1. Метод половинного деления.

2. Метод Ньютона (касательных).

3. Метод секущих (хорд).

4. Метод простых итераций.

 Все эти методы являются итерационными.

А) Пусть на отрезке  x∈[a,b] определена дважды непрерывно дифференцируемая функция у (х), поведение которой описывается линейным неоднородным ОДУ 2-го порядка. Принципиальным отличием краевой задачи от задачи Коши для ОДУ является задание дополнительных (краевых или граничных) условий более чем в одной точке независимой переменной (в задаче Коши дополнительные условия задаются в одной точке, называемой начальной).

Если на границах х = а и х = b заданы значения искомой функции у(а), у(b), то такие условия называются граничными условиями первого рода, а задача называется первой краевой задачей для ОДУ (4.51).

Если на границах заданы значения производных искомой функции, то такие условия называются граничными условиями 2-го рода:

а задача (4.51), (4.54), (4.55) называется второй краевой задачей для ОДУ (4.51).    Если на границах заданы линейные комбинации искомой функции и ее первой производной:

Такие условия называются граничными условиями третьего рода, а задача (4.51), (4.56), (4.57) называется третьей краевой задачей для ОДУ (4.51).                                                

Б)

(прогонка для матриц, если надо будет)