2. Выбор шага численного интегрирования в задаче Коши для ОДУ. Порядок метода, процедура Рунге повышения порядка метода.
А) При численном решении задач Коши для ОДУ и систем ОДУ шаг численного решения можно выбирать апостериорно и априорно. В обоих случаях первоначальное значение шага h задается.
При апостериорном выборе шага последний изменяется в процессе счета на основе получаемой информации о поведении решения и на основе заданной точности Ɛ. Пусть Ɛ - заданная точность численного решения, и пусть h - первоначально выбранный шаг. Тогда алгоритм дальнейшего выбора шага следующий.
Б) Порядком метода назовем показатель р степени hp
В главном члене погрешности метода. В методе Эйлера главный член погрешности на шаге h пропорционален h2, а на всем интервале пропорционален шагу h. Поэтому метод Эйлера - метод 1-го порядка. По той же причине метод Эйлера-Коши - метод 2-го порядка, метод Рунге-Кутта метод 4-го порядка (здесь порядок метода в точности совпадает с порядком соответствующей квадратурной формулы численного интегрирования).
Пусть задача Коши решается методом р-го порядка с шагом h с получением численных значений yh и главным членом погрешности φ(x)hp, пропорциональным hp. Тогда неизвестное точное решение у(х) можно представить в виде:
так как главный член погрешности в алгоритме (4.50) пропорционален степени hp+1. Процедура ( 4.50) называется процедурой Рунге уточнения численного решения задачи Коши. Для ее применения задачу необходимо решать дважды с шагами h и h/2.
Процесс уточнения с применением формулы ( 4.50) можно применять и дальше, проводя расчеты с шагами h/4, h/8 и т.д., пока не выполнится условие.
