l. Основные теоретические положения.
Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(x). С помощью точек x0, x1,x2, ..., xn разобьем отрезок [a,b] на n элементарных отрезков [xi-1 ,xi] (i=1,2, ...,n), причем x0 =a, xn=b. На каждом из этих отрезков выберем точку xi и найдем произведение si значения функции f(xi) на длину элементарного отрезка Dxi = xi -xi-1:
Cумма таких произведений: 
называется интегральной суммой.
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения. Приэтом длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница. Она состоит в том, что определенный интеграл равен приращению первообразной F(x) на отрезке интегрирования. На практике этой формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:
- Вид функции не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях.
- Значения функции заданы f(x) заданы таблично (множество xi конечно).
В этих случаях используются методы численного интегрирования.
Важным частным случаем в методах численного интегрирования является тот, когда величина элементарного отрезка D xi - величина постоянная и может быть вынесена за знак интегральной суммы. Эта величина называется шагом интегрирования и обозначается обычно h.
- Метод прямоугольников непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой. В качестве точек xI могут выбираться левые (xi-1) или правые (xi) границы элементарных отрезков. Обозначив yi = f(xi), расчетные формулы можно записать:
(при выборе левых границ)
(при выборе правых границ)
II. В методе трапеций график функции f(x) аппроксимируется ломаной, соединяющей точки с координатами (xi, yi). 
Искомое значение определенного интеграла представляется в виде суммы площадей трапеций, построенных на каждом из элементарных отрезков:
Здесь yo и yn - значения функции f(a) и f(b) соответственно
lll.В методе парабол (формула Симпсона) на каждом из элементарных отрезков, длиною 2*h, по трем известным значениям функции f(xi), f(xi+1) и f(xi+2) строится парабола, заданная уравнением ax2+bx+c
Решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными a,b,c, получаем уравнение параболы, проходящей через заданные три точки xi, xi+1, xi+2
Далее площадь криволинейной трапеции на отрезке
находится как:
Просуммировав все площади криволинейных трапеций на отрезке
,получим формулу: 
- Вычисление значение интеграла методом прямоугольников оформляем подпрограммой
SUB pr (a, b, n, prm)
h = (b - a) / n
prm = 0
FOR x = a TO b STEP h
prm = prm * h
END SUB
- Вычисление значение интеграла методом трапеций оформляем подпрограммой
SUB trap (a, b, n, trapm)
prm = 0
h = (b - a) / n
FOR x = a + h TO b - h STEP h
prm = prm + 2 * f(x)
NEXT x
trapm = (prm+f(a)+f(b)) * h / 2
END SUB
- Вычисление значение интеграла методом Симпсона оформляем подпрограммой
SUB sim (a, b, n, simp)
s1 = 0: s2 = 0
h = (b - a) / n
FOR x = a + h TO b - 2 * h STEP 2 * h
s1 = s1 + f(x)
s2 = s2 + f(x + h)
NEXT x
simp = h / 3 * (f(a) + 4 * s1 + 2 * s2 + f(b))
END SUB
