Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных

Если задана функция $u = f(x, y, z)$ и вычислены ее частные производные $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$ и $\frac{\partial u}{\partial z} ,$ то они в свою очередь также являются функциями независимых переменных $x, y$ и $z ,$ а поэтому от каждой из них можно найти производную по каждой из переменных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если найти частную производную по переменной $x$ от частной производной первого порядка $\frac{\partial u}{\partial x} ,$ то получаем частную производную второго порядка от функции $u ,$ которую взято два раза по переменной $x .$ Это производная обознается как:

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = u''_{xx}$

Итак,

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)$

Если взять частную производную по переменной $y$ от производной $\frac{\partial u}{\partial x} ,$ то получим частную производную второго порядкафункции $u$ , которую взято вначале по переменной $x ,$ а потом – по переменной $y .$ Такая производная называется смешанной производной и обозначается

$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = u''_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)$

Аналогично, частная производная по переменной $x$ от первой производной $\frac{\partial u}{\partial y}$ по переменной $y$ дает вторую смешанную частную производную функции $u ,$ вычисленную вначале по переменной $y ,$ а потом – по переменной $x .$ Она обозначается символом

$\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = u''_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)$

ТЕОРЕМА

Смешанные производные, если они непрерывны, не зависят от порядка дифференцирования, то есть

$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$

Частная производная по переменной $y$ от производной первого порядка $\frac{\partial u}{\partial y}$ есть второй частной производной от функции $u$ по переменной $y .$ Ее обозначают следующим образом:

$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = u''_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)$

Подобным образом задаются производные более высокого порядка, чем второй. Например, выражение $\frac{\partial^3 u}{\partial x^3} = u'''_{xxx}$ определяет производную третьего порядка функции $u = f(x, y, z)$ найденную три раза по переменной $x .$ Аналогично $\frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y}$ – смешанная производная третьего порядка, взятая два раза по переменной $x$ и от полученной производной $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ найдена один раз производная по переменной $y .$