Понятийный аппарат аксиоматического метода. Аксиоматическое построение планиметрииПонятийный аппарат аксиоматического метода
Суть аксиоматического метода построения научной теории состоит в следующем:
* перечисляются основные (неопределяемые) понятия,
* все вновь возникающие понятия должны быть определены через основные понятия и понятия, определенные ранее.
Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними.
Так, точка и прямая – это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, – отношение между ними.
Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через еще более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределимыми.
* Далее формулируются аксиомы – предложения, принимаемые без доказательства.
Доказывая какое-либо утверждение, опираются на некоторые предпосылки, которые считаются известными. Но эти предпосылки необходимо в свою очередь обосновать, опираясь на другие, и т. д. Чтобы оборвать эту бесконечную последовательность, вводят аксиомы – предпосылки, которые принимаются за исходные и составляют основу для доказательства теорем. Все остальные предложения должны являться логическим следствием аксиом или ранее доказанных утверждений.
Список основных понятий и формулировки аксиом составляет основу теории и, в частности, планиметрии.
Необходимо отметить, что основные понятия и аксиомы (назовем их кратко системой) вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру (пример такой системы – система неевклидовой геометрии). Они являются основой абстрактной теории, которая выводится как логическое их следствие, безотносительно к тому, верна исходная система или нет с нашей точки зрения.
Для того чтобы абстрактная теория приобрела определенный смысл, необходимо найти объект-модель, т.е. указать систему конкретных объектов и отношений между ними так, чтобы соблюдались установленные аксиомы. Такую модель иначе называют еще интерпретацией аксиоматики.
Изучаемая в школе геометрия является иллюстрацией метода построения теории, которая получила название аксиоматического метода.
К началу III в. до н. э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля была сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Система Евклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменений до XIX века н. э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматический метод, и на рубеже XIX–XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков.
Таким образом, изучаемая нами геометрия является моделью утвержденной ранее системы, в которой точку мы представляем как идеализацию следа остро отточенного карандаша, прямую – как идеализацию туго натянутой нити, а плоскость – как идеализацию гладкой поверхности стола.
Для отвлеченной аксиоматики неизвестно, могут ли выводы из нее привести к противоречию. Такая аксиоматика, заключающая в себе противоречие, заведомо не может реализоваться и не имеет смысла.
Таким образом, первое условие для любой системы аксиом – это ее непротиворечивость. Вопрос о противоречивости системы решается представлением ее модели. В частности, непротиворечивость системы аксиом геометрии решается построением ее арифметической модели в рамках теории действительных чисел.
Другой вопрос, касающийся системы аксиом, – это желательная их независимость.
Система аксиом называется независимой, если ни одна из них не является логическим следствием остальных. К примеру, независимость аксиомы о параллельных прямых в рамках аксиоматики евклидовой геометрии удалось установить только в XIX веке, после двух тысячелетий попыток вывести ее как следствие других аксиом системы.
Доказательство независимости данной аксиомы в системе достигается указанием модели, в которой выполняются все аксиомы, кроме данной, которая заменяется ее отрицанием.
Далее желательно, чтобы система аксиом была полной, то есть такой, что добавление к ней новой аксиомы делает новую систему аксиом зависимой. Система аксиом геометрии является полной, но это скорее исключение, чем правило: обычно системы аксиом оказываются неполными.
К середине XIX века, как уже было отмечено, основания евклидовой геометрии оставались на том же уровне, как они были изложены в работах Евклида. Однако общая тенденция к повышению математической строгости во второй
половине XIX века побудила многих авторов к пересмотру основ геометрии с целью предложить полную, непротиворечивую, независимую систему аксиом.
Наибольшее признание среди различных сформулированных систем получила аксиоматика немецкого математика Давида Гильберта, изложенная в его книге «Основания геометрии» в 1899 г. Ему удалось построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становилась совершенно прозрачной: три группы аксиом управляют каждая своим основным отношением – принадлежности, порядка, равенства.
Такое расчленение позволило, во-первых, формировать аксиомы кратким и простым образом; во-вторых, исследовать, как далеко можно развить геометрию, если положить в основу не всю аксиоматику, а только ту или иную ее группу. При этом система задавала действительно абстрактную теорию, в которой объекты и отношения между ними – это просто какие-то мыслимые «вещи», про которые известно только то, что они удовлетворяют аксиомам.
Наряду с системой аксиом Гильберта можно назвать и другие варианты аксиоматики евклидовой геометрии:
* аксиоматика, предложенная в 1904 году Фридрихом Шуром и основанная на понятии движения (наложения) (эта идея используется в учебнике геометрии для средних школ в России, изданного под научным руководством академика А. Н. Тихонова),
* аксиоматика, основанная на понятии о численном расстоянии, предложенная тогда же Вениамином Федоровичем Каганом, векторная аксиоматика Германа Вейля и др. См. также http://bse.sci-lib.com/article007395.html
Идущие от практики основные задачи геометрии состоят в построении фигур с требуемыми свойствами и измерении этих фигур. При этом в практике сложные фигуры строятся из более простых фигур (вспомните детскую игру Конструктор). И в теории геометрия начинается с построения простейших фигур – с выбора точек, проведения отрезков, соединяющих эти точки, построения окружностей с выбранным центром и заданным радиусом и т.п. Об этих построениях простейших фигур говорится в немногих предложениях, лежащих в основаниях геометрии. Из пяти постулатов Евклида в его «Началах» в четырех постулатах говорится о простейших построениях. Вот первые три из них.
Постулат 1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
Постулат 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.
Постулат 3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
Ясно, что под прямой (ограниченной прямой) Евклид имеет в виду отрезок.
В постулате 4 Евклид говорит о том, что все прямые углы равны, а в его знаменитом пятом постулате говорится о пересечении на плоскости двух прямых, пересекающих третью прямую так, что сумма одной из пар внутренних односторонних углов, образовавшихся при этом, меньше двух прямых углов. Итак, и пятый постулат Евклида говорит о построении точки пересечения двух прямых. Этот постулат теперь заменяют одним из его эквивалентов, чаще всего аксиомой параллельности.
Доказательства всех дальнейших Предложений в «Началах» Евклид ведет чисто логически, опираясь на постулаты и аксиомы, в которых формулируются общематематические положения. Например,
Аксиома 1. Равные одному и тому же равны и между собой.
Аксиома 2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
Аксиома 8. И целое больше части.
Уже почти 2500 лет, следуя Евклиду, курс элементарной геометрии («Начала» - это перевод греческого словаЭлементы), строят дедуктивно, опираясь на список начальных предложений, которые принимаются без доказательств (их сейчас в геометрии называют аксиомами, а их список - аксиоматикой). В аксиомах говорится о свойствах основных понятий (точек, отрезков, прямых и т.д.) Эти понятия не определяются, а лишь называются и иллюстрируются реальными примерами. Последующие понятия (например, понятия треугольник, параллельные прямые и перпендикулярные прямые и т.д.) определяются через основные понятия. Следующие за аксиомами предложения геометрии доказываются, а эти доказательства опираются либо на аксиомы, либо на ранее доказанные предложения. Такое построение геометрии называется аксиоматическим.
В основе современных школьных учебников геометрии лежат разные аксиоматики и их авторы по-разному подходят к тому, когда сообщить школьникам полную систему аксиом. В начале учебника «Геометрия.7-9» академика А.В. Погорелова сообщается вся аксиоматика планиметрии. Но обычно, в начале школьного курса геометрии формулируются не все аксиомы – некоторые из них считаются очевидными. Либо соответствующее утверждение формулируется, но о том. что это аксиома в данном курсе, сначала не говорится. А полную систему аксиом авторы сообщают в конце учебника. Например, так сделано в учебнике А.Д. Александрова, А.Л. Вернера и В.И. Рыжика «Геометрия 7-9» и в учебнике «Геометрия.7-9» Л.С. Атанасяна и др. Желающих ознакомиться с аксиоматиками евклидовой геометрии, мы отсылаем к указанным нами книгам.
