Кинематика – это раздел механики, изучающий движение тел, не интересуясь причинами, вызывающими это движение.
Рассмотрим движение материальной точки А (рис.1).
Z
A
0 Y
Рис. 1
X
Здесь - радиус-вектор, вектор, идущий из начала координат к материальной точке в различные моменты времени. Он характеризуется тремя величинами - x,y,z. Это проекции радиус-вектора на координатные оси, которые являются одновременно и координатами материальной точки А. При движении материальной точки они меняются с течением времени, поэтому каждая из координат зависит от текущего времени:
x=f1(t) ; y=f2(t) ; z=f3(t).
Таким образом, зависимость радиус-вектора от времени является законом движения.
Пусть за промежуток времени материальная точка А переместилась из точки 1 в точку 2 (рис 2).
Z
|
|
|
1 2
|
|
|
Y
Рис. 2
X
Траектория – это линия, описываемая материальной точкой в пространстве при её движении. Фактически это геометрическое место концов радиус-вектора (рис.2).
– вектор перемещения. Он представляет собой приращение радиус-вектора r за время :
, (1) =, (2)
где x1, y1, z1 – начальные координаты материальной точки;
x2, y2, z2 – конечные координаты.
Вектор перемещения – это вектор проведенный из начального в конечное положение материальной точки. В общем случае он не совпадает с соответствующим участком траектории.
Путь (D) – это скалярная величина, равная сумме длин участков траектории.
При бесконечно малом перемещении (элементарном перемещении) направление вектора совпадает с направлением касательной к данной точке траектории.
Пусть за время материальная точка переместилась на , тогда вектор средней скорости перемещения за время :
. (3)
Вектор средней скорости перемещения совпадает по направлению с вектором перемещения (рис.2).
В кинематике вводится понятие средней путевой скорости. Если за время материальная точка прошла путь D, то средняя путевая скорость:
. (4)
Определим вектор скорости точки в данный момент времени (мгновенной линейной скорости) как предел отношения при 0, то есть
= . (5)
Вектор мгновенной линейной скорости равен производной от радиус-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения точки A (как и вектор ) (рис.2).
В СИ единицей измерения скорости является метр на секунду (м/с).
В пространстве существует три проекции вектора скорости на оси координат:
; ; . (6)
Поэтому полная скорость определится соотношением:
. (7)
Введём понятие ускорения.
Пусть за время скорость материальной точки изменилась на величину , тогда среднее ускорение за время :
. (8)
В СИ единицей измерения ускорения является метр на секунду в квадрате (м/с2).
Пусть → 0, тогда мгновенное ускорение равно:
(9)
Мгновенное линейное ускорение равно первой производной от вектора мгновенной скорости по времени или второй производной от радиус – вектора по времени.
Проекции ускорения на оси координат:
(10)
Полное ускорение:
(11)
Пример 1. Векторный способ описания движения точки.
Пусть радиус-вектор точки, зависит от времени t по закону =t+, где и – постоянные векторы.
Найдем скорость и ускорение точки.
=.
Таким образом, зная зависимость радиус-вектора от времени дифференцированием можно найти скорость и ускорение .
Можно решить и обратную задачу: зная ускорение и скорость, интегрированием найти зависимость радиус-вектора от времени, однако в этом случае, для получения однозначного решения необходимо знать начальные условия, то есть скорость и радиус-вектор точки в некоторый начальный момент времени t0.
Пример 2. Координатный способ описания движения материальной точки.
Рассмотрим движения материальной точки вдоль оси x.
а) Неравномерное движение вдоль оси x:
скорость и ускорение материальной точки меняются с течением времени.
Тогда средняя скорость:
(12)
Мгновенная линейная скорость:
(13)
Среднее ускорение:
(14)
Мгновенное линейное ускорение:
(15)
б) Равномерное движение вдоль оси x: ;
При этих условиях:
(16)
где x0 – координата при t=0 .
в) Равнопеременное движение вдоль оси x:
(17)
(18)
Если > 0, то движение равноускоренное, если < 0, то движение равнозамедленное.
Тангенциальная и нормальная составляющие
ускорения.
|
При криволинейном движении материальной
точки ее скорость изменяется как по величине
так и по направлению (рис.3).
Рис. 3.
Ускорение направлено внутрь кривизны траектории и составляет угол с вектором мгновенной скорости . Оно может быть представлено как векторная сумма тангенциального и нормального ускорений.
Модуль тангенциального ускорения определяется как первая производная от мгновенной скорости по времени:
(19)
Оно меняет модуль скорости.
Нормальное ускорение меняет направление скорости:
, (20)
где R – радиус кривизны траектории.
Модуль полного ускорения точки :
(21)
