Определение. Функция 
непрерывна в точке 
, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и если
. (1)
Понятие непрерывности функции в точке определено через понятие предела. Отличием от понятия предела является то, что требуется, чтобы функция была определена в самой точке. Кроме того, само значение предела при условии непрерывности должно совпадать со значением функции в точке. Поскольку в определении непрерывности используется предел, то основные свойства функций, имеющих предел, переносятся на непрерывность функции.
Свойства функций, непрерывных в точке:
1. Функция, непрерывная в точке, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
2. Если функции и 
непрерывны в некоторой точке , то непрерывными являются также функции:
;
;
;
, 
.
3. Если функция непрерывна в точке и 
(
), то существует некоторая окрестность точки , в которой 
(
).
4. Если и непрерывны в некоторой точке и 
, то существует некоторая окрестность точки , в которой 
.
5. Если функция 
непрерывна в точке , а функция 
непрерывна в точке 
, где 
, то сложная функция 
непрерывна в точке .
6. Если для сложной функции выполняются условия ее непрерывности (5), то справедлива формула
. (2)
Замечание 1. Свойства 3 и 4 означают, что некоторые особенности непрерывности функции в точке продолжаются на окрестность точки (продолжаются по непрерывности).
Замечание 2. Формула 2 означает, что для непрерывности функции в точке операции нахождения предела и функции 
переставимы (можно изменять их порядок). Этим пользуются при вычислении пределов.
