Определение 1. Пусть функция 
определена на множестве 
и 
- его точка сгущения. Функция 
называется бесконечно малой при 
если 
.
Следующая теорема является простым следствием теоремы о пределе суммы.
Теорема 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых при 
функций есть бесконечно малая при функция.
Теорема 2.Произведение бесконечно малой при функции и ограниченной в окрестности точки 
функции 
является бесконечно малой при функцией.
Замечание 1. Точнее в этой теореме предполагается, что функция 
ограничена на множестве 
, где 
– некоторая окрестность точки 
, которая является точкой сгущения множества 
(это же множество, без ущерба для общности, можно считать и областью определения функции ).
С учетом определения предела функции по Гейне, эта теорема является прямым следствием аналогичной теоремы для числовых последовательностей (теоремы о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность).
Определение 2.Пусть 
– точка сгущения множества . Функция называется бесконечно большой при , если 
.
Теорема 3(о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими). Пусть 
- точка сгущения множества 
и 
на (или, хотя бы, в некоторой окрестности точки ). Тогда
1) если – бесконечно малая при функция, то 
– бесконечно большая при функция;
2) если же – бесконечно большая при функция, то 
– бесконечно малая при функция.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Выберем произвольное 
и положим 
. Так как 
, то найдется такая окрестность точки , что
и, следовательно, 
. В силу произвольности 
это и означает, что – бесконечно большая при функция.
2) Возьмем произвольное 
и положим 
. Поскольку 
, то найдется такая окрестность 
точки , что
,
Поэтому 
, т.е. то – бесконечно малая при функция □
§6. Символы «о» и «О». Эквивалентные прифункции.
Пусть функции и определены на множестве и 
– точка сгущения множества . Пусть также в некоторой проколотой окрестности 
точки функция 
отлична от нуля (точнее, 
). Там где это ниже необходимо по смыслу, будем также считать, что в той же проколотой окрестности отлична от нуля и функция .
Определения: 1. Если
,
то говорят, что функция есть о-малое от функции при , и пишут
при .
2.Если функция 
ограничена в некоторой проколотой окрестности 
точки , т.е. если она ограничена на множестве 
, то говорят, что функция есть о-большое от функции при , и пишут
при .
3. Говорят, что функции и одного порядка при , если
и 
при .
4.Говорят, что функции и асимптотически равны при , если 
