Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Бесконечно большие последовательности.

Определение

Последовательность $\left \{ x_{n} \right \}$ называется бесконечно большой, если $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon$ , или $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\infty$ .

Геометрическая интерпретация

Назовем $\varepsilon$ -окрестностью точки $\infty$ множество $E=\left\{x\in\mathbb{R}:\left|x\right|>\varepsilon\right\}$ .
Введем множества $E_{1}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x<-\varepsilon\right\}$ и $E_{2}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x>\varepsilon\right\}$ . Назовем эти множества $\varepsilon$ -окрестностями точек $-\infty$ и $\infty$ соответственно. Тогда $E=E_{1}\cup E_{2}$ .

Теорема (связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

Если $\left\{x_{n}\right\}$ – бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера $n$ определена последовательность $\left \{ \frac{1}{x_{n}}\right \}$ , которая является бесконечно малой.
Если все элементы бесконечно малой последовтельности $\left \{ \alpha_{n}\right \}$ отличны от нуля, то последовательность $\left \{\frac{1}{\alpha_{n}}\right \}$ – бесконечно большая.

Доказательство.

Пусть $\left\{x_{n}\right\}$ – бесконечно большая последовательность, т.е. $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon$ . Это означает, что при $n\geq N_{\varepsilon}$ все элементы $x_{n}\neq 0$ , поэтому последовательность $\left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}$ имеет смысл с номера $N_{\varepsilon}$ .
Пусть $A$ – любое положительное число, тогда для числа $\frac{1}{A}$ $\exists\,N_{1}:\forall n\geq N_{1}\left|\frac{1}{x_{n}}\right|<A$ , что по определению означает, что последовательность $\left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}$ – бесконечно малая.
Второе доказательство проводится аналогично.

Свойства бесконечно больших последовательностей

Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.
Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.

Доказательство.

Пусть $\left\{x_{n}\right\},\;\left\{y_{n}\right\}$ – бесконечно большие последовательности.
По определению:
$\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{1}>0:\;\forall n\geq N_{1} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon$ и $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{2}>0:\;\forall n\geq N_{2} \;\;\left|y_{n}\right|\geq\varepsilon$ .
Тогда для последовательности $\left\{x_{n}+y_{n}\right\}$ :
$\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N=\max\left\{N_{1},N_{2}\right\}>0:\;\forall n\geq N \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon$ , что означает, что последовательность $\left\{x_{n}+y_{n}\right\}$ – бесконечно большая.
Пусть последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ – бесконечно большая, $\left\{y_{n}\right\}$ – ограниченная. Тогда по определению $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon$ и $\exists\,C:\;\forall n\in\mathbb{N} \left|y_{n}\right|<C$ .
Рассмотрим $\left|x_{n}+y_{n}\right|$ :
$\left|x_{n}+y_{n}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\frac{\left|x_{n}+y_{n}\right|}{\left|x_{n}\right|}=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}+y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}}{x_{n}}+\frac{y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\left(1+0\right)=\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon$
(используются свойства модулей, свойства бесконечно малых последовательностях и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
Получили: $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon$ , что означает, что последовательность $\left\{x_{n}+y_{n}\right\}$ – бесконечно большая.
Доказательство аналогично предыдущему.
Пусть последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ – бесконечно большая, $C \neq 0$ – константа. Тогда по определению $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon$ .
Рассмотрим $\left|x_{n}\cdot C\right|$ :
$\left\{x_{n}\right\}\rightarrow\infty, \Rightarrow \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}\rightarrow 0$ (по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями).
$C$ – константа, $\Rightarrow\left\{\frac{1}{C}\right\}$ – также константа, т.е. ограниченная.
$\left \{ \frac{1}{x_{n}\cdot C} \right \}=\left \{\frac{1}{x_{n}}\cdot\frac{1}{C} \right \}\rightarrow 0\Rightarrow\left \{ x_{n}\cdot C \right \}\rightarrow\infty$ , что означает, что последовательность $\left\{x_{n}y_{n}\right\}$ – бесконечно большая.
(используются свойства бесконечно малых последовательностей и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

Определение бесконечно малой последовательности

Последовательность $\left \{ \alpha_{n} \right \}$ называется бесконечно малой, если $\lim\limits_{n \rightarrow \infty }\alpha_{n} =0$ , т.е. $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\varepsilon$ .

Геометрическая интерпретация

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малая последовательность ограничена.
Сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.
Если элементы бесконечно малой последовательности $\left\{\alpha_{n}\right\}$ равны одному и тому же числу $C$ , то $C=0$ .

Доказательство.

Пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ – бесконечно малая последовательность, $\varepsilon$ – некоторое положительное число. Пусть $N$ – номер, такой, что $\forall n \geqslant N \; \left|\alpha_{n}\right|<\varepsilon$ . Обозначим $\max \left \{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,...\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right \}$ числом A. Получим: $\forall\varepsilon>0 \;\exists A=\max\left\{\varepsilon,\left|\alpha_{1}\right|,\left|\alpha_{2}\right|,\,...\,,\left|\alpha_{n-1}\right|\right\}:\forall n\in\mathbb{N}\; \left|\alpha_{n}\right|<A$ , что и означает, что последовательность ограничена.
Пусть $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ и $\left\{ \beta_{n} \right\}$ – бесконечно малые последовательности. Пусть $\varepsilon$ – произвольное положительное число, $N_{1}$ – номер, начиная с которого $\left|\alpha_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ , а $N_{2}$ – номер, начиная с которого $\left|\beta_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ . Такие номера найдутся по определению бесконечно малой последовательности. Тогда по свойству модулей $\left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|\leq \left|\alpha_{n}\right|+\left|\beta_{n}\right|$ . Обозначим через $N$ наибольший из номеров < $N_{1}$ и $N_{2}$ . Получим: $\forall \varepsilon>0\;\exists N\; \forall n\geq N \left|\alpha_{n}+\beta_{n}\right|<\varepsilon$ , что означает, что последовательность $\left\{\alpha_{n}+\beta_{n}\right\}$ – бесконечно малая.
Пусть последовательность $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ – бесконечно малая, а $\left\{ x_{n} \right\}$ – ограниченная. По определению, $\exists\, c>0:\forall n\in \mathbb{N} \left|x_{n}\right|<c$ и $\forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|\alpha_{n}|<\frac{\varepsilon}{c}$ . По свойству модулей, $\left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|=\left|\alpha_{n}\right|\cdot\left|x_{n}\right|<\frac{\varepsilon}{c}\cdot c=\varepsilon$ . Получили: $\forall\,\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N\:\left|\alpha_{n}\cdot x_{n}\right|<\varepsilon$ , а это означает по определению, что последовательность $\left\{\alpha_{n}\cdot x_{n}\right\}$ — бесконечно малая.
Следствие: произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Пусть $C\neq 0$ . Тогда для $\varepsilon=\frac{\left|C\right|}{2}\;\;\exists N: \forall n\geq N \left|\alpha_{n}\right|<\frac{\left|C\right|}{2}$ . По условию, $\alpha_{n}=C$ , тогда $C<\frac{\left|C\right|}{2}$ . Получили противоречие, следовательно, $C=0$ .