Задача о беспорядках

В комбинаторике беспорядком называется перестановка без неподвижных точек.

Проверка работ

Допустим, профессор дал четырём студентам (назовем их A, B, C и D) контрольную, а затем предложил им проверить её друг у друга. Естественно, ни один студент не должен проверять свою контрольную. Сколько у профессора вариантов распределения контрольных, в которых ни одному студенту не достанется своя работа? Из всех 24 перестановок (4!) для возврата работ, нам подходят только 9 беспорядков:

   BADC, BCDA, BDAC,
   CADB, CDAB, CDBA,
   DABC, DCAB, DCBA.

В любой другой перестановке этих 4 элементов как минимум один студент получает свою контрольную на проверку.

Задача о письмах

Вычисление количества беспорядков является популярной задачей в олимпиадной математике, которая встречается в разных формулировках таких как задача о беспорядке, задача о письмах, задача о встречах и т. д.

Если $n$ писем случайным образом положить в $n$ различных конвертов, то какова вероятность, что какое-то письмо попадет в свой конверт?

Ответ дается выражением

$1-{\frac {!n}{n!}}\approx 1-{\frac {1}{e}}.$

Таким образом, ответ слабо зависит от количества писем и конвертов и примерно равен константе 1 − 1 e ≈ 0,632 12 $1-{\frac {1}{e}}\approx 0{,}63212$ .

Количество всех беспорядков порядка n может быть вычислено с помощью принципа включения-исключения и дается выражением

$!n=n!-{\frac {n!}{1!}}+{\frac {n!}{2!}}-{\frac {n!}{3!}}+\dots +(-1)^{n}{\frac {n!}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{k!}},$

которое называется субфакториалом числа n.

Количество беспорядков $!n=d(n)$ удовлетворяет рекурсивным соотношениям

$d(n)=(n-1)[d(n-1)+d(n-2)]$

$d(n)=nd(n-1)+(-1)^{n},$ ^n

где $d(1)=0$ ) $d(2)=1$ .

В виду того, что $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{e}}$ , значение $!n$ с ростом n $n$ ведёт себя каr ${\frac {n!}{e}}$ . Более того, при $n>0$ его можно представить как результат округления числа ${\frac {n!}{e}}$ .