принцип математической индукции

Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо для всякого натурального n, если

1. оно справедливо для n = 1 и
2. из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натуральногоn = k следует его справедливость для n = k+1.

То есть, доказательство по методу математической индукции проводится в три этапа:

1. во-первых, проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно проверку делают для n = 1);
2. во-вторых, предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n=k;
3. в-третьих, доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1, отталкиваясь от предположения второго пункта.

.

Доказательство.

Метод математической индукции предполагает доказательство в три пункта.

Поехали!

1. Проверим равенство для n = 1. Имеем . Это равенство верное.
2. Предположим, что  есть справедливая формула.

3. Докажем, что  отталкиваясь от справедливого равенства из второго пункта.

   Сумма k+1 первых членов последовательности представляется как сумма первых k членов исходной числовой последовательности и k+1 ого члена:
   

   Так как  из второго пункта, то
   

   Осталось привести дроби к общему знаменателю, привести подобные слагаемые, воспользоваться формулой сокращенного умножения квадрат суммы и произвести сокращение: