Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси 
фигуры, ограниченной непрерывной кривой 
, осью и прямыми 
(рис. 7). Разобьем отрезок 
на 
частей точками 
Проведем через точки деления плоскости, перпендикулярные оси . Сечение тела вращения плоскостью 
есть круг радиусом 
с площадью 
. Проведенные плоскости разобьют тело на слои. Каждый 
-й слой
приближенно заменим прямым цилиндром (рис. 7) с радиусом , высотой 
и объемом 
Сумма объемов всех цилиндров равна 
.
Объем тела вращения 
определяется как предел этой суммы
при стремлении к нулю величины 
. Мы получили предел интегральной суммы непрерывной функции 
по отрезку , который существует и равен интегралу 
Итак, объем 
тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , осью и прямыми , вычисляется по формуле
или 
.
Аналогично вычисляется объем 
тела, полученного при вращении вокруг оси 
фигуры, ограниченной линией 
, осью , прямыми 
(рис. 8):
или 
.
Пример 1. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 
,
а) вокруг оси , б) вокруг оси .
Решение. Построим параболу 
прямые 
и заштрихуем фигуру, ограниченную этими линями (рис. 31).
а). Объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг оси , вычислим по формуле:
Подынтегральная функция − четная, поэтому используем следствие 2 к теореме.
б). Для вычисления объема тела вращения фигуры вокруг оси нельзя непосредственно воспользоваться формулой, так как фигура сверху ограничена не прямой, а параболой. Поэтому сначала рассмотрим фигуру, ограниченную прямой 
, осью , прямыми 
. При ее вращении вокруг оси получим цилиндр, объем которого 
можно вычислить по формуле 
или по формуле 
Теперь рассмотрим фигуру, ограниченную линиями осью и прямой 
. При ее вращении вокруг оси получим тело, объем которого 
вычислим по формуле: 
Тогда искомый объем 
будет равен 
7. Лекционное занятие. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
Случай 1. Пусть на плоскости дуга 
задана уравнением 
Будем предполагать, что функция 
непрерывна вместе со своей производной на .
Рассмотрим на кривой точки 
с абсциссами 
Проведем хорды 
длины которых обозначим 
(рис. 1).
Вычислим длину -й хорды
Для вычисления приращения 
воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа
,
где 
− некоторая точка из промежутка 
Тогда длина 
й хорды
.
Учтем это и возьмем в определении криволинейного интеграла в качестве промежуточных точек на дугах 
точки 
:
.
Мы получили предел интегральной суммы функции 
по отрезку , который равен интегралу 
Следовательно,
Итак, для вычисления криволинейного интеграла 
по дуге АВ с уравнением 
нужно:
1) заменить 
в подынтегральной функции на его значение на дуге;
2) заменить 
на 
;
3) вычислить получившийся определенный интеграл по отрезку .
Иногда удобнее использовать уравнение кривой в виде 
. Тогда
Пример 1. Вычислить длину дуги кривой 
.
Решение. Уравнение кривой разрешено относительно 
, поэтому воспользуемся формулой (7.16), учитывая, что 
,
Тогда 
Случай 2. Пусть на плоскости дуга задана параметрическими уравнениями
,
причем функции 
непрерывны на 
вместе со своими производными и 
.
Для определенности, пусть 
. Уравнения 
определяют функцию , которая имеет непрерывную производную 
. Учитывая, что 
, получим 
.
Итак, справедливы следующие формулы 
и
Аналогично, для пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями 
, имеем
